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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2359
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. August, 2003 - 07:27: | 
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Hi allerseits,
 
Die real existierende Dreiecksaufgabe 33 ist von
der Aufgabe 32 verdrängt worden und untergegangen,
sodass Nr.32 gleich doppelt erschien, dadurch besser hält,
aber für Verwirrung sorgte, auch bei mir.
Ich hole die Dreiecksaufgabe 33 aus der Versenkung und gebe
ihr als Trost die neue Nummer 333.
So ist hoffentlich alles wieder in Ordnung.
Bei der Dreiecksaufgabe 333 geht es wieder um
Berechnungen an einem gleichschenkligen Dreieck ABC.
Gegeben werden die Basis a = AB und die Länge w
der Winkelhalbierenden des Basiswinkels alpha
(gemessen vom Scheitel A bis zum Schenkel BC).
Bestimme rechnerisch den Winkel alpha.
Für welche Wertkombinationen von a und w gibt es
Lösungen?
Bearbeite die numerischen Beispiele
a) a = 5 w = 6
b) a = 6 w = 3 sqrt 2
c) a = 8 w = 3
Lösungshilfe
Bezeichnungen:
Die Halbierende w des Winkels alpha = 2x schneidet
den Schenkel BC im Punkt W.
Betrachte alle drei Innenwinkel des Dreiecks ABW,
insbesondere den bei der Ecke W.
Schreibe für die Seiten AW und AB den Sinussatz an.
Drücke sin(3x) durch Funktionen des einfachen Winkels
x aus.
Berechne cos x, ausgedrückt durch a und w. aus einer
quadratischen Gleichung; die Diskriminante ist
stets positiv.
Fordere, dass cos x zwischen null und eins liegt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 816
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. August, 2003 - 12:35: |
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Hi megamath,
das dritte Beispiel ist meiner Meinung nach nicht lösbar!
a) a ~ 82,82°
b) a = 30°
c) cos(x) = 1,5 > 1 (!!)
Hier mein Lösungsweg:
Der halbe Winkel sei also x, dann ist wegen der Gleichschenkligkeit der gegenüberliegende Winkel bei B 2x, und der dritte dann logischerweise 3x.
Sinussatz für AB und AW:
a / sin(3x) = w / sin(2x)
a * sin(2x) = w * sin(3x)
==>Additionstheoreme:
2a * sin(x) * cos(x) = 3w * sin(x) - 4w * sin^3(x)
4w * cos^2(x) - 2a * cos(x) - w = 0
cos(x) = { 2a + Ö( 4a^2 + 16w^2) } / 8w
damit hat man den halben Winkel a/2 und über cos(a) = 2 * cos^2(a/2) - 1, den gesuchten!
mfg
(Beitrag nachträglich am 03., August. 2003 von tl198 editiert) |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2360
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. August, 2003 - 13:30: |
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Hi Ferdi,
Deine Lösung ist korrekt, auch die numerischen Beispiele
stimmen.
Die exakten Werte sind:
ad a)
cos x = ¾ ; cos (2x) = 1/8
ad b)
cos x = ¼ [sqrt(2) + sqrt(6)] ; cos (2x) = ½ sqrt(3)
Es folgen noch die Übersetzungen der lateinischen Zitate
Wort für Wort:
Für das mit Waffen zu verteidigende Vaterland.
Für die mit Aufgaben zu schmückende Mathematik.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 817
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. August, 2003 - 13:58: |
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Hi,
besten Dank für die Übersetzungen. Hab ich mir schon fast gedacht. Die alten Latinum Kenntnisse haben da fast noch zu gereicht..., eine schöne Sprache finde ich.
Gibt es eigentlich eine besondere Beziehung zwischen a und w, so dass Beispiele lösbar sind?
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2361
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. August, 2003 - 14:23: |
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Hi Ferdi,
Deine Frage bezüglich der Lösungsbedingung
wird in der Dreiecksaufgabe 34 gestellt und dort
beantwortet.
Ich nehme das Resultat vorweg;
es lautet (ohne Gewehr (!)):
2 a / 3 < w < a sqrt2
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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