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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2295
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Juli, 2003 - 21:13: | 
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Hi allerseits,
In der Dreiecksaufgabe 17 erscheint ein kleines Lemma
zur Begutachtung und allfälligen Herleitung.
Das Sätzchen über ein allgemeines Dreieck
habe ich heute bei einer Siesta am See, den archimedischen
Auftrieb geniessend, hergeleitet.
Ob das Lemma bereits bekannt ist, weiss ich nicht;
das spielt auch keine Rolle.
Aber eine Rolle spielen die drei Seiten a, b , c ,
die Höhen ha, hb, hc und die drei Abstände
d , e , f des Umreismittelpunktes von den Seiten
a,b,c in dieser Reihenfolge.
Eine erste Relation lautet:
(a f + c d) / (b f + c e ) = ha / hb ,
zwei weitere gewinnt man durch
zyklische Vertauschung:
(b d + a e) / (c d + a f ) = hb / hc
(c e + b f) / ( a e + b d) = hc / ha
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2298
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Juli, 2003 - 15:36: |
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Hi allerseits,
Als Beschäftigungstherapie möchte ich zwei
Testläufe mit numerischen Beispielen für
das Lemma aus der Dreiecksaufgabe 17
empfehlen.
Die Rechnungen sind spannend von Anfang
bis zum guten Ende.
1.Beispiel
Gleichschenkliges Dreieck
Basis b = 8, Höhe zur Basis hb = 8.
2.Beispiel
allgemeines rechtwinkliges Dreieck
Katheten a, b und Hypotenuse c.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2300
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Juli, 2003 - 11:35: |
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Hi allerseits
Hinweise zur Herleitung der Relationen
Dieses schönen Lemmas.
Bezeichnungen wie Im Text der Aufgabe
Zusätzlich:
M: Mittelpunkt des Umkreises
F,G,H: Fußpunkte der Lote von M aus auf die
Dreiecksseiten BC,CA,AB (diese Reihenfolge).
Ratschläge:
Dreimalige Anwendung des Satzes von Ptolemäus für die
Sehnenvierecke MFCG, MGAH(AH-Erlebnis), MHBF.
Paarweise Multiplikation dieser Relationen.
Benützung der Umkreisformel r = abc / (4F)
Einführung der Höhen ha, hb, hc.
Ziel nicht aus den Augen verlieren.
Und so weiter und so fort!*
Bitte die beiden erwähnten Tests nicht vergessen
Sie lauten:
1.Beispiel
Gleichschenkliges Dreieck
Basis b = 8, Höhe zur Basis hb = 8.
2.Beispiel
allgemeines rechtwinkliges Dreieck
Katheten a, b und Hypotenuse c.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 825
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Juli, 2003 - 14:16: |
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Hi Megamath,
mit deinen Hinweisen ist es mir sicherlich möglich die Aufgabe zu lösen. Wegen akuten Zeitmangels würde ich mir aber noch bis Sontag Abend "Bearbeitungszeit" einräumen wollen. Heute Abend bin ich weg und Ob ich Morgen, wenn es zu einer großen Garten Grillade kommen sollte, zeit finde für die Aufgabe ist fraglich. Daher wäre Sontag Abend als "Deadline" für mich sinnvoll. Ich weis nicht megamath ob du mir die Zeit gewähren möchtest. Wenn es nicht klappen sollte kannst du ja Montag auflösen.
mfg
Niels |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2302
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Juli, 2003 - 15:11: |
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Hi Niels,
Einverstanden,das machen wir so !
MfG
H.R.Moser,megamath |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 826
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Juli, 2003 - 19:31: |
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Hi Megamath,
es tut mir leid, das ich dir kein "Geburtstagsgeschenk" in Form eines
Beweises des Lemmas machen kann. Aber in der Skizze die ich angefertigt habe konnte ich nichts mehr erkennen. Ich kapituliere vor der Aufgabe, wünsche dir aber noch einen schönen Geburtstag und freue mich über deine Lösung.
mfg
Niels
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2311
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Juli, 2003 - 20:36: |
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Hi Niels,
Vielen Dank für Deine guten Wünsche.
Ich werde meine Lösung morgen ins Netz stellen.
Die Aufgabe ist wirklich schwierig,und es erstaunt mich nicht,
dass bisher noch keine Lösunng eingetroffen ist.
Ich habe meine Lösung auch eher zufällig gefunden!
Es gibt auch in der Mathematik Sternstunden:
*************
Man kan sie herbei wünschen,erzwingen lassen sie sich nicht.
Ich wünsche Dir weiterhin viel Freude an der Geometrie!
MfG
H.R.Moser,megamath
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Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 827
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Juli, 2003 - 22:12: |
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Hi Megamath,
den Spaß an der Geometrie und an der Mathematik selbst kann man mir nicht so schnell nehmen. Ich bin ein "zäher Hund" in solchen dingen. Und wenn ich so viel Erfahrung mit der Materie hätte wie du, würden mir hoffentlich auch mehr "Sternstunden" begegnen, als derzeit.
Ich freue mich auf weitere nette Aufgabe und unbekannte Lemma und setze die du ans Tageslicht förderst.
weiter noch ein schönen Geburtstag!!
mfg
Niels
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Georg (georg)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: georg
Nummer des Beitrags: 173
Registriert: 08-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Juli, 2003 - 08:22: |
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Vielleicht geht es ja auch so :
Ptolemäus, Strahlensatz :
a/2 * r = c/2 * e + b/2 * f ==> ar = ce + bf
b/2 * r = c/2 * d + a/2 * f ==> br = cd + af
(br)/(ar) = (cd+af) / (ce+bf)
b/a = (cd+af) / (ce+bf)
F = 1/2*a*ha = 1/2*b*hb ==> ha / hb = b/a
ha / hb = (cd+af) / (ce+bf) |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2312
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Juli, 2003 - 08:43: |
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Hi Georg
Du hast mir einige Arbeit abgenommen durch die
Präsentation
Deiner zielstrebigen und richtigen Lösung!
Bravo und Dank.
MfG
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2313
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Juli, 2003 - 09:35: |
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Hi Niels,
Ich leite nun dieses Lemma der Dreiecksaufgabe 17 her
Die Bezeichnungen sollen wiederholt werden:
M: Mittelpunkt des Umkreises
F,G,H: Fußpunkte der Lote von M aus auf die
Dreiecksseiten BC,CA,AB (diese Reihenfolge);
d , e , f sind die drei Abstände des Umkreismittelpunktes
von den Seiten, also d = MF, e = MG . f = MH
beachte ferner : FC = ½ a, CG = ½ b , ….
1.
Anwendung des Satzes von Ptolemäus für das
Sehnenvierecke MFCG:
b/2 * d + a/2 * e = r * c/2,also
b d + a e = r c
2.
Anwendung des Satzes von Ptolemäus für das
Sehnenvierecke MGAH:
c/2 * e + b/2 * f = r * a/2, also
c e + b f = r a
3.
Anwendung des Satzes von Ptolemäus für das
Sehnenvierecke MHBF:
a/2 * f + c/2 * d = r * b/2, also
a f + c d = r b
4.
Paarweise Division der Relationen 1. bis 3.
Zum Beispiel 2./3.:
a / b = ( c e + b f ) / ( a f + c d )
5.
Andrerseits gilt a / b = hb / ha , denn die
zugehörige Produktengleichung a ha = b hb
gibt gerade die doppelte Dreiecksfläche.
Somit gilt:
(a f + c d) / (b f + c e ) = ha / hb , was zu zeigen war.
Hast Du noch Fragen bezüglich der Beispiele?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser
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Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 828
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Juli, 2003 - 11:03: |
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Hallo allerseits,
respekt Herrschaften! meine Bewunderung und Anerkennung habt ihr sicher!
Allerdings wie das in der Geometrie halt ist, ohne eine halbwegs lesbare Skizze, an der man die Relationen erkennen und die Sätze anwenden kann ist man aufgeschmissen. Geometrie war sowieso nie mein Spezialgebiet- dennoch ist das Tema höchst interessant und sehr wichtig.
Der Sommer ist noch lang, und es sind noch einige Löcher zu stopfen....
mfg
Niels
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2314
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Juli, 2003 - 12:13: |
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Hi allerseits,
Hier noch die Lösungen zu den beiden Beispielen:
1.Beispiel
Gleichschenkliges Dreieck
Basis b = 8, Höhe zur Basis hb = 8.
2.Beispiel
allgemeines rechtwinkliges Dreieck
Katheten a, b und Hypotenuse c.
ad 1.
Die Seiten sind: a = 4 sqrt(5), b = 8 , c = 4 sqrt(5)
Die Abstände: d = sqrt (5) , e = 3 , f = sqrt (5)
Die Produkte: bd = 8 sqrt (5) , a f = 20 , ce = 12 sqrt(5)
be = 24, cf = 20 , ad = 20.
Die Höhen: ha = hc = 16 / sqrt(5) , hb = 8
Damit lassen sich die Formeln verifizieren.
ad 2.
Seiten: a , b ; c = sqrt (a^2 + b^2)
Abstände: d = ½ b , e = ½ a , f = 0 (!)
Höhen: ha = b, hb = a, hc = ab / c.
Damit lassen sich die Formeln verifizieren.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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