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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2301 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 25. Juli, 2003 - 12:00: |
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Hi allerseits, Es erscheint die Dreiecksaufgabe 18. Sie lehnt sich an vorhergehende Aufgaben an. Sie ist recht schwierig und hat mich lange in Atem gehalten. Vielleicht bringen die numerischen Daten gegenüber dem allgemeinen Fall eine gewisse Erleichterung. Die Aufgabe lautet. M sei der Umreismittelpunkt und r der Umkreisradius des Dreiecks ABC. f , g, h seien die Abstände des Punktes M von den Seitengeraden BC, CA, AB (diese Reihenfolge) . Berechne r bei gegeben Werten von f, g , h für das numerische Beispiel f = sqrt(5), g = 3 , h = sqrt(5). Viel Spaß H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2306 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 26. Juli, 2003 - 17:54: |
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Hi allerseits, Ein paar Hilfestellungen und Anregungen zur Dreiecksaufgabe 18 könnten nichts schaden. Die folgenden Schritte sollten zum Ziel führen: 1. Drücke alle drei Seiten a, b , c mit Pythagoras je durch r und f, r und g, r und h aus. 2. Schreibe im Sehnenviereck MFCG den Satz von Ptolemäus an und setze für g und f die gegebenen Werte ein und für a , b , c die Ergebnisse aus dem vorhergehenden Abschnitt eins. 3. So entsteht zur Ermittlung von r eine Wurzelgleichung. Durch eine leicht abenteuerliche Rechnung entsteht als taugliches Resultat r = 5. 4 Wer sich Einiges zutraut, rechnet dasselbe nochmals für das Zahlenbeispiel f = 25, g = 39, h = 33. Man zeige, dass der Umkreisradius r die folgende Gleichung sechsten Grades erfüllt: r^6 – 6470 r^4 + 10465225 r^2 - 4140922500 = 0 Auch Pessimisten werden erstaunt sein, dass zwei taugliche Lösungen für r entstehen; die eine davon ist sogar ganzzahlig. Viel Erfolg wünscht H.R.Moser,megamath
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Georg (georg)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: georg
Nummer des Beitrags: 170 Registriert: 08-2000
| Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Juli, 2003 - 13:55: |
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2309 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Juli, 2003 - 14:13: |
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Hi Georg, Meine Anerkennung und ein grosses Bravo!* Kannst Du mit Deiner Methode auch das numerische Beispiel,das ich unter Punkt 4. meiner letzten Ausführungen erwähnte, bewältigen? MfG H.R.Moser,megamath |
Georg (georg)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: georg
Nummer des Beitrags: 172 Registriert: 08-2000
| Veröffentlicht am Montag, den 28. Juli, 2003 - 00:19: |
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Nein, aus meiner Wurzelgleichung bekomme ich die Wurzeln nicht weg. Aber deinen Weg habe ich bestätigen können, bis jetzt bis zu der Gleichung sechsten Grades. ( Die fehlende Ptolemäus-Diagonale ergibt sich aus dem Strahlensatz zu c/2 ) |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2315 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 28. Juli, 2003 - 13:13: |
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Hi allerseits, Wir wollen es wagen, in das Rechenabenteuer einzutauchen, an den Oberflächen ist es so wie so zu heiß; also ganz cool: 1. Wir drücken alle drei Seiten a,b,c mit Pythagoras je durch r und f, r und g, r und h aus: r^2 = g^2 + ¼ b^2 , daraus b = 2 sqrt (r ^ 2 – g ^ 2 ) = 2 sqrt ( r^2 – 9 ) r^2 = h^2 + ¼ c^2 , daraus c = 2 sqrt (r ^ 2 – h ^ 2 ) = 2 sqrt ( r^2 – 5 ) r^2 = f^2 + ¼ a^2 , daraus a = 2 sqrt (r ^ 2 – f ^ 2 ) = 2 sqrt ( r^2 – 5) 2. Mit Ptolemäus im Sehnenviereck CGMF (es gelten die früheren Bezeichnungen: F ist der Fußpunkt des Lotes von M aus auf BC = a, G derjenige auf CA = b ; Skizze herstellen !): g * a/2 + f * b/2 = r * c/2 oder g a + f b = r c , numerisch: 3 a + sqrt(5) b = r c. 3. Dies wird verwoben mit den Resultaten aus 1; als Ergebnis erhalten wir eine Wurzel-Gleichung für r, nämlich: 3 sqrt ( r^2 – 5) + sqrt(5) sqrt ( r^2 – 9 ) = r sqrt ( r^2 – 5 ) Nach erstmaligem Quadrieren entsteht: 4 r^2 (r^2–5)-56 r^2+360 - 24sqrt (r^2-5) sqrt (r^2 -9) sqrt(5) = 0 oder vereinfacht: 4 r^4 – 76 r^2 + 360 - 24 sqrt (r^2-5) sqrt (r^2 -9) sqrt(5) = 0 Immer noch liegt eine Wurzelgleichung vor; der Kenner und die Kennerin kennen das. Separation der Wurzeln und nochmaliges Quadrieren und Zusammenfassen führt auf eine Gleichung achten Grades in r : 16 r^8 – 608 r^6 + 5776 r ^4 - 14400 r^2 = 0 Alle Koeffizienten sind durch 16 teilbar, ein zahlentheoretisches Phänomen. Nach Abspalten von r^2 und der Substitution r^2 = Y (sic) verbleibt die Gleichung dritten Grades in Y: Y^3 - 38 Y ^ 2 + 361 Y – 900 = 0 Die Lösungen sind ebenfalls ganzzahlig: Y1 = 25, Y2 = 9 , Y3 = 4 (Y hat gute Dienste geleistet, daher „Groß Y“ !*) Für r gibt es nur eine Lösung: r = 5, denn r muss größer als jeder der gegebenen Werte f, g ,h sein Wir sehen: mit r = 3 liegt (ein nicht tauglicher) Grenzfall vor. So weit,so gut. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2316 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 28. Juli, 2003 - 14:13: |
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Hi Georg Im allgemeinen Fall ergibt sich tatsächlich eine Gleichung sechsten Grades in r. Zur Abkürzung setzen wir f ^ 2 + g ^ 2 + h ^ 2 = Q ^ 2 und (f * g * h) ^ 2 = P ^ 2, so entsteht zur Berechnung von r die folgende Gleichung: r ^ 6 – 2 * Q ^ 2 * r ^ 4 + Q ^ 4 * r ^ 2 - 4 * P ^ 2 = 0 Für das zweite Beispiele erhalten wir damit die angegeben Gleichung mit zwei tauglichen Lösungen: r1 = 65 und r2 = ½ * [ 65 + sqrt( 265)] ~ 40,64 Eine Herleitung dieser Formel ist noch offen, ebenfalls die Determination und eine allfällige konstruktive Lösung. Wer kann das alles besorgen? Quellenangabe Es ist an der Zeit, die Herkunft der Aufgabe anzugeben. Ich habe sie in meinem Leibblatt, dem Bulletin des Vereins Schweizerischer Mathematik - und Physiklehrer, entnommen. Der Text ist französisch und lautet: Étant donné trois nombres positifs d, e et f , on cherche les côtés d´un triangle pour lequel ces nombres sont les distances des côtés au centre du cercle circonscrit. Die Fragen lauten: Combien y a-t-il de solutions? (wie viele Lösungen gibt es ?) Peut-on construire une solution? (kann man eine Lösung konstruieren?) Wer hilft weiter? Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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