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vollständige Induktion

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Beweisführung » vollständige Induktion « Zurück Vor »

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Detlef (detlef01)
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Benutzername: detlef01

Nummer des Beitrags: 157
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Juli, 2003 - 13:16:   Beitrag drucken

hi,

warum gilt das hier:
1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)=n*n

warum n*n, das stimmt doch gar nicht! und nun soll man versuchen zu beweisen, dass das für jede positive gerade zahl gilt?

Detlef
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Robert (emperor2002)
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Benutzername: emperor2002

Nummer des Beitrags: 143
Registriert: 04-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Juli, 2003 - 13:58:   Beitrag drucken

Hallo Detlef,

wir beweisen diesen Satz mit Hilfe der vollständigen Induktion.

Induktionsbehauptung: 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2

Induktionsverankerung: n = 1 => (2*1 - 1) = 1 = 12

Induktionsschluss: Wir setzen die Induktionsbehauptung als wahr voraus und zeigen, dass sie auch für den Nachfolger n' = n+1 gilt. Dadurch muss gelten:

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + (2n' - 1) = n'2
n2 + (2(n+1) - 1) = (n+1)2
n2 + 2n + 1 = n2 + 2n + 1
0 = 0 => wahre Aussage.

Die Aussage gilt also für den Nachfolger von n. Dadurch das n = 1 eine wahre Aussage ist, muss auch n = 2 wahr sein usw. Damit haben wir gezeigt, dass dies für alle natürlichen Zahlen ab n = 1 zutrifft.

Grüße, Robert
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Detlef (detlef01)
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Benutzername: detlef01

Nummer des Beitrags: 159
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Juli, 2003 - 14:04:   Beitrag drucken

hi,

warum denn n^2 + (2(n+1) - 1) = (n+1)^2, also wieso das erste n^2, das kommt in der ausgangsgl. gar nicht vor!

ach und weil auf beiden seiten (0=0) das gleiche steht, ist es eine wahre aussage!?

Detlef
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Robert (emperor2002)
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Benutzername: emperor2002

Nummer des Beitrags: 145
Registriert: 04-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Juli, 2003 - 14:24:   Beitrag drucken

Ich habe im Induktionsschritt die Induktionsbehauptung genutzt.

Beh. 1 + 3 + ... + (2n - 1) = n2
Für den Nachfolger muss gelten:
1 + 3 + ... + (2n - 1) + (2[n+1] - 1) = (n+1)2
Ich kann jetzt 1 + 3 + ... (2n - 1) durch n2 ersetzen, da wir dies als wahr voraussetzten.

Zu 0 = 0. auf der linken Seite standen stets die Additionen der ungeraden Zahlen, auf der rechten die kürzere Variante, das Quadrat, also unsere Vermutung. 0 = 0 heißt ja nichts weiter, als links und rechts das gleiche stand!
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Detlef (detlef01)
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Benutzername: detlef01

Nummer des Beitrags: 163
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Montag, den 14. Juli, 2003 - 18:21:   Beitrag drucken

achso, ich hatte vergessen, dass wir das als wahr voraussetzen! Danke!

werde jetzt doch die Induktion mit Summenzeichen versuchen zu verstehen...

Detlef
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Timo (sparky_r)
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Benutzername: sparky_r

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 07-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Juli, 2003 - 12:11:   Beitrag drucken

Hallo!

Komme nicht weiter bei einer Aufgabe der Vollständigen Induktion:

1²+3²+...+(2n-1)²=n*(2n-1)*(2n+1)
Die Rechte Seite der Gleichung wird noch durch 3 geteilt. Konnte das nicht darstellen!!!

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen???
Dringend...

Danke
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Panther (panther)
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Benutzername: panther

Nummer des Beitrags: 83
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Juli, 2003 - 14:02:   Beitrag drucken

Noch eine Frage:
Gibt es eine Voraussetzung für n, z.B. n muß größer 5 sein oder so?
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Timo (sparky_r)
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Neues Mitglied
Benutzername: sparky_r

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 07-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Juli, 2003 - 17:11:   Beitrag drucken

Nein eine Vorausetzung gibt es nicht...
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Detlef (detlef01)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01

Nummer des Beitrags: 166
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Juli, 2003 - 18:09:   Beitrag drucken

hi,

konnteste nicht darstellen???
1²+3²+...+(2n-1)²=(n*(2n-1)*(2n+1))/3

so, oder was?

guck doch mal oben und versuch es...

detlef
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Detlef (detlef01)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01

Nummer des Beitrags: 167
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Juli, 2003 - 18:16:   Beitrag drucken

ich hätte diesen Ansatz:
(n*(2n-1)*(2n+1))/3)+(2(n+1)-1)² =
n*(2(n+1)-1)*(2(n+1)+1)

weiss nicht on das stimmt, lass lieber noch mal absegen*G*

Detlef
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Daniela (red_devil)
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Benutzername: red_devil

Nummer des Beitrags: 2
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Veröffentlicht am Freitag, den 05. September, 2003 - 15:06:   Beitrag drucken

hallo!
hab da so ein problem mit der aufgabe. ich komm mit den x nicht klar. wir hatten vorher keine variablen außer n da drin.
wie löse ich diese aufgabe?:

1+x+x^2+...+x^n= (x^n+1 -1)/x-1

auf der rechten das soll heißen: x hoch n+1, minus 1, geteilt durch x minus 1.

gruß, danny
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Christian Schmidt (christian_s)
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Nummer des Beitrags: 1348
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Veröffentlicht am Freitag, den 05. September, 2003 - 15:17:   Beitrag drucken

Hi Daniela

Multipliziere einfach mal beide Seiten mit (x-1).
Dann steht auf der linken Seite
x+x²+...+xn+xn+1-1-x-x²-...-xn=xn+1-1
Das war ja zu zeigen. Für x=1 gilt die Formel offensichtlich nicht.

MfG
C. Schmidt
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
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Nummer des Beitrags: 1384
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 05. September, 2003 - 15:32:   Beitrag drucken

BITTE FÜR NEUE AUFGABEN NEUEN THREAD

stimmt für n=1
Annahme
stimmt für n=N
dann muß
für n=N+1
gelten
1+x+x^2+ ..+x^N+xN+1 = (xN+1-1)/(x-1) + xN+1 = (xN+1+1-1)/(x-1)
das schon versucht?

Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]

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