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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2210
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juli, 2003 - 11:20: | 
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Hi allerseits,
Hier kommt eine Variante der Dreiecksaufgabe 2,
die hydra kürzlich gestellt hat.
Dreiecksaufgabe 3.
Von einem Dreieck ABC kennt man das Produkt der
Seiten b und c:
b * c = 45 ,
die Winkelhalbierende bei A, w = 5
und den Umkreisradius r = 6.
Man konstruiere das Dreieck und berechne seine Seiten
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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*** (hydra)
Mitglied
Benutzername: hydra
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juli, 2003 - 14:51: |
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Hallo Megamath!
Ich betrachte die allgemeine Aufgabe mit den Angaben r, w und p = b*c
Ansatz:
A ( r cosj | r sinj ) , B ( -r cosw | -r sinw ) , C ( r cosw | -r sinw )
Die Verlängerung der Winkelhalbierenden bei A geht durch den Punkt ( 0 | -r ).
Über den geometrischen Ort des Schnittpunktes der Winkelhalbierenden bei A mit der Seite BC erhält man nach einiger Rechnung aus b²c² = p² die Bestimmungsgleichung 2r²w²(1 + sinj) = p².
Lösung:
sinj = 1/2 * (p/rw)² - 1
sinw = 1/2 * p/r² - sinj
Mit den speziellen Zahlenwerten wird A ( 9/4 * Ö7 | 3/4 ) , B ( -3 Ö3 | -3 ) , C ( 3 Ö3 | -3 ) was dem Lösungsdreieck der erwähnten Dreiecksaufgabe 2 entspricht.
Ich bin gespannt auf deine konstruktive Lösung!
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2213
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juli, 2003 - 20:55: |
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Hi hydra,
Du hast die Dreiecksaufgabe 3 bravourös gelöst!
Meine Glückwünsche.
Es war meine Absicht, das numerische Beispiel so zu
wählen, dass die Ergebnisse mit denen der vorhergehenden
Aufgabe 2 übereinstimmen.
Meine konstruktive Lösung erscheint morgen.
Vorerst gebe ich einen nützlichen Hilfssatz bekannt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2214
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juli, 2003 - 21:13: |
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Hi allerseits,
Prosit !*
Zur Lösung der Aufgaben 3 und 4, bei denen das Produkt
der Seiten b und c eines Dreiecks ABC eine wesentliche Rolle
spielt, verwendet man mit Vorteil einen kleinen Satz, der sein
Dasein ganz im Verborgenen fristet.
Er handelt von einem Dreieck ABC, seinem Umkreis
und einer Winkelhalbierenden.
Wie kürzlich erwähnt, schneiden sich die Halbierende g
des Innenwinkels alpha bei A und die Mittelsenkrechte
mm der Seite BC in einem Punkt S auf dem Umkreis k
des Dreiecks ABC.
W sei der Schnittpunkt von g mit der Seite BC
b = AC, c = AB sind Dreieckseiten,
w = AW ist die Länge der Winkelhalbierenden von alpha.
Eine weitere Streckenlänge, die Sehne im Umkreis AS = p,
spielt die Hauptrolle.
Sie heisst, da sie etwas schief liegt und in Anlehnung an PISA:
Pisante.
Es gilt der Satz
Das Produkt der Seiten b und c stimmt überein mit dem
Produkt der Winkelhalbierenden w und der Pisante p:
b * c = w * p
Als erstes beweisen wir diesen so genannten kleinen Satz von
megamath.
Die Dreiecke ASC und ABW sind ähnlich
(diese Reihenfolge der Ecken)
wegen
Winkel (SAC) = Winkel (BAW) ;Winkelhalbierende
Winkel (ASC) = Winkel (ABW) ; Peripheriewinkelsatz
Daraus folgt die Proportion:
AC : AS = AW : AB oder
b : p = w : c , also
b * c = w * p .
°°°°°°°°°°°
w z z w .
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 761
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Juli, 2003 - 09:51: |
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Hi Megamath,
und wie lautet dann der "Große Satz von Megamath"?
Gruß N. |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2215
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Juli, 2003 - 10:14: |
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Hi Niels,
Die Frage habe ich erwartet und wohl auch provoziert.
Den wird es kaum je geben; es geht auch ohne;
die M ist gleichwohl spannend genug.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 764
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Juli, 2003 - 17:27: |
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Hi Megamath,
hat den dieser Satz einen richtigen Namen, oder ist er noch Herrenlos, d.h Namenlos- und du hast ihn so benannt.
von diesem Satz und von "Pisanten" habe ich noch vorher nie etwas gehört.
Gruß N. |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2217
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Juli, 2003 - 18:28: |
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Hi Niels,
Ich habe das aus Uebermut so bezeichnet.
Solchen Formeln begegnet man beim Spiel mit der entsprechenden Materie des öftern.
All dies ist eher zufällig geschehen und hat keine weitere Bedeutung für die Mathemastik als Wissenschaft.
Jedenfalls wollte ich Dich nicht irritieren..
MfG
H.R.Moser,megamath |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 767
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Juli, 2003 - 18:58: |
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hI megamath,
dann frage ich Präzise:
Ist der Satz nach einem Berühmten Mathematiker benannt, oder ist er nur ein unbedeutender Hilfsatz, der keinen speziellen Namen hat und du aus Spaß so genannt hast?
Ist der Begriff "Pisante" ein richtig Mathematider Ausdruck für die Strecke, oder auch wieder nur ein Spaß von dir ?
Gruß N. |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2218
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Juli, 2003 - 19:01: |
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Hi Niels,
Ja,es ist ein Spass meinerseits,beides!
Nichts für ungut !
MfG
H.R.Moser,megamath |
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