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Michael (mic888)
Neues Mitglied
Benutzername: mic888
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Juni, 2003 - 21:28: | 
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Hallo!
Ich hätte da mal eine Bitte bzw. Frage zur Vorgehensweise!
Kann mir jemand erklären was ich mach muss, wenn z.B. eine Aufgabe heißt:
(a) Bestimmen Sie die Hauptachsen von der quadratischen Form
q(x)=1/6*x²+1/3*xy-1/12*y²=1
--> Ist das so richtig, dass man jetzt erstmal die quadratische Form als Matrix schreibt??
hier jetzt
(1/6) (1/6)
A=
(1/6) (-1/12)
und danach die Eigenwerte und Eigenvektoren dieser Matrix bestimmen muss?? Die gefundenen Eigenvektoren dann normiert und dann die Hauptachsentransformation durchführt??
Doch wie führe ich diese dann durch?
2.Frage:
Wie geht man vor, wenn die Aufgabe so lautet:
(b)Transformieren Sie die quadratische Form
q(x)=x^T*A*x mit
(2) (1/2*Wurzel 2) (1)
A= (1/2*Wurzel 2) (3) (2*Wurzel 2)
(1) (1/2*Wurzel 2) (2)
auf ihre Hauptachsen und geben Sie die Hauptachsentransformation an!
-->Wie geht man hier vor?? Werden hier zunächst auch die Eigenwerte bestimmt?? Aber dann???
Ist ein bisschen viel Text geworden, sorry ;)!!
Aber ich wär Euch sehr DANKBAR, wenn mir einer sagen könnte, wie ich bei solchen Typen von Aufgaben vorgehen muss, sprich was man zuerst bestimmen muss!
Vielen Dank schon einmal im voraus!
Mfg
Michael |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2175
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Juni, 2003 - 14:40: |
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Hi Michael
Ich löse die Teilaufgabe a)
Die Koeffizienten sind:
A = 1/6 , B = 1/6 ,C = -1/12
Du siehst das richtig.
Die charakteristische Gleichung mit der Variablen L lautet:
L^2 – 1/12 L - 1/24 = 0
Die Lösungen sind die Eigenwerte
L1 = ¼, L2 = - 1/6
°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Zu L1 = ¼ gehört als Eigenvektor (normiert)
v1 = 1/wurzel(5)*{2;1}
Zu L2 = - 1/6 gehört als Eigenvektor (normiert)
v2 = 1/wurzel(5)*{-1;2}
Da schau her:
In Richtung v1 schaut die neue X-Achse
In Richtung v2 schaut die neue Y-Achse
Im neuen (X,Y) –System lautet die Gleichung
des Kegelschnitts so:
X^2 / 4 – Y^2 / 6 = 1.
Wir erkennen:
Damit ist die Hauptachsentransformation vollzogen.
Kein Glied mit XY tritt auf, bravo !
Es handelt sich beim KS um eine Hyperbel mit den
Halbachsen
a = 2 und b = wurzel(6).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamaht
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Michael (mic888)
Neues Mitglied
Benutzername: mic888
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Juni, 2003 - 18:12: |
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Hallo!
Erstmal vielen Dank für die Antwort!
Hätte da trotzdem nochmal eine Frage zu und zwar:
Also bis zu dem Satz
"Da schau her:
In Richtung v1 schaut die neue X-Achse
In Richtung v2 schaut die neue Y-Achse"
hab ich alles verstanden!
Aber wie bist du jetzt auf die Gleichung des Kegelschnittes gekommen?????
X^2 / 4 – Y^2 / 6 = 1
Hab zwar mal in einem Formelbuch nachgeschaut, und da auch eine entsprechende Formel gefunden
x²/a² + y²/b² = 1
welche dann auch erklärt, wieso a=2 und b=wurzel(6) nachher ist, aber wie hast du die aufgestellt???
Ich hätte da wenn, die Eigenwerte sprich 1/4 und -1/6 eingestezt???
Wäre nett, wenn du mir nochmal antworten würdest!
Vielen herzlichen Dank im voraus!
Mfg
Michael
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Michael (mic888)
Neues Mitglied
Benutzername: mic888
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Juni, 2003 - 18:29: |
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Oder setz ich für das a² und b² in der Formel
x²/a² + y²/b² = 1
immer dann [1 durch meinen entsprechenden Eigenwert] ein?? |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 789
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Juni, 2003 - 18:51: |
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Hi, schau mal hier,
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/me ssages/4244/311874.html?1049876397
da wird das alles auch ausführlich erklärt!
mfg
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2177
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Juni, 2003 - 19:35: |
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Hi Michael,
Sei allgemeiner F(x,y) =A x^2 + 2 B x y + C y^2
die zur Gleichung A x^2 + 2 B x y + C y^2 + F = 0
des KS gehörige quadratische Form.
In Deinem Fall gilt
A = 1/6 , B = 1/6 ,C = -1/12, F = -1
Aus den Koeffizienten A,B, C kann Einiges
herausgelesen werden.
Der Typus des KS läst sich mit der Determinante
delta = AC - B^2
der von Dir erwähnten Matrix erschließen.
In Deinem Fall gilt delta = - 1/72 – 1/36 < 0;
wegen des negativen Vorzeichens liegt eine Hyperbel vor.
Den Richtungswinkel phi einer Hauptachse erhält
man aus der Beziehung
tan (2 phi) = 2 B / ( A – C ).
In Deinem Fall:
tan(2 phi) =[1/3] / [1/6 + 1/12] = 4/3
Daraus kannst Du tan (phi), cos (phi)), sin (phi)
mit Goniometrie rechnen!
Resultat:
1.Lösung:
tan (phi) =½,cos(phi)=2/wurzel(5), sin (phi)=1/wurzel(5)
Diese erste Lösung gibt Dir mit tan (phi) = m1 = ½
die Steigung der neuen X-Achse.
2.Lösung:
tan (phi) =-2 ,cos(phi)= -1/wurzel(5), sin (phi)=2/wurzel(5)
Diese zweite Lösung gibt Dir mit tan (phi) = m2 = -2
die Steigung der neuen Y-Achse.
Du rechnest nach:
m1 * m2 = - 1 ,d.h. die beiden neuen Koordinatenachsen
stehen aufeinander senkrecht, wie es sein muss.
Das ist Hauptachsentransformation nach alter Väter Sitte,
wobei es noch nötig wäre, die Drehformeln mit phi als
Drehwinkel zum rotieren kommen zu lassen.
Wer etwas auf sich hält, macht es aber mit den
eigenvalues und eigenvects.
Wenn die Eigenwerte L1 und L2 sind
so lautet die Gleichung des KS im (X,Y)-System so:
L1 * X ^2 + L2 * Y^2 + F = 0.
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Genau so habe ich es gemacht und am Schluss bloß noch die
Halbachsen abgelesen, i
in Kenntnis der Mittelpunktsgleichung der Hyperbel.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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