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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2086
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Mai, 2003 - 06:45: | 
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Hi allerseits,
Hier kommt sie, die Nummer VII der lockeren Folge:
Die Gleichung zweiten Grades in x, y, z :
x^2 + y^2 +z^2 - 2 x y – 2 y z – 2 x z + 2 x + 2 y – 2z +1 = 0
stellt einen Rotationskegel dar.
Weise das nach, und bestimme die Koordinaten der
Kegelspitze, einen Richtungsvektor der Achse
sowie den halben Öffnungswinkel.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 726
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Mai, 2003 - 10:13: |
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Hi megamath,
erst mal ein Anfang:
Die Gleichung stellt ein Rotationskegel dar, da die charakteristische Gleichung der Matrix der quadratischen Form die eine Doppellösung besitzt!
Charak. Gleichung: L³-3L²+4=0
==> L1=-1 L2=L3=2
Als Spitze hätte hich S(0|0|1) anzubieten.
mfg |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 727
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Mai, 2003 - 11:48: |
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Als Rotationsachse erhalte ich wenn ich den Eigenvektor zum Eigenwert -1 bestimme, sie lautet:
x=t , y=t, z=t
Ist der Öffnungswinkel der Winkel zwischen Mantellinie und Achse?
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2087
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Mai, 2003 - 12:13: |
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Alles ok
MfG
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2088
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Mai, 2003 - 19:25: |
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Hi Ferdi,
Ich möchte noch ein paar Bemerkungen zu dieser Aufgabe
anfügen.
Deine Angaben zur Kegelspitze sind richtig;
die Achsenrichtung, die Du aus dem Eigenwert -1 in der Form
des zugehörigen Eigenvektors ermittelt hast, auch.
Ein solcher Vektor ist v = {1;1;1}
Eine Gleichung der Kegelachse a ist demnach
x = t , y = t , aber: z = 1 + t.
Der Oeffnungswinkel eines Rotationskegels ist der Winkel
zwischen der Achse und einer beliebigen Mantellinie des Kegels.
Es ist zu empfehlen, eine Parallelverschiebung des
Koordinatensystems vorzunehmen: Die Spitze wird zum neuen
Nullpunkt eines (X, Y ,Z) - Systems;
die Transformationsgleichungen lauten:
x = X , y = Y , z = Z + 1.
Die Kegelfläche bekommt die neue Gleichung
[X + Y + Z ]^2 = 2 * (X^2+ Y^2 + Z^2)
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aus der ALLES ersichtlich wird!~
Eine Gleichung der Achse im neuen System ist X=Y=Z
Schneiden wir die Fläche mit der Ebene Z = 0, so kommt:
X^2 + 2 X Y + Y^2 = 2 X^2 + 2 Y^2, schließlich
(X – Y ) ^ 2 = 0 folgt.
Weitere Schlüsse:
Die (X,Y)-Ebene ist Tangentialebene und die Gerade
X = Y , Z = 0
ist die entsprechende Berührungsmantellinie.
Für den oben definierten Oeffnungswinkel alpha erhalten
wir mit der bewährten Methode des Skalarprodukts:
cos (alpha) = (1*1+1*1) / [sqrt (3)*sqrt(2)] = sqrt(6)/3
Daraus alpha ~ 35,26°
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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