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bestimmt ganz einfach....

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Tanja (justsmiles)
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Junior Mitglied
Benutzername: justsmiles

Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 01-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 20. April, 2003 - 16:43:   Beitrag drucken

...aber es ist doch schon sooo lange her:

1)Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente t an den Graphen von f, die parallel zur Geraden g ist
f(x)= 2/x^2+1; g: y=x+3

2)Vom Punkt R werden die Tangenten an den Graphen von f gelegt. Berechne die Koordinaten der Berührpunkte und gebe die Gleichungen der Tangenten an:

f(x)= x/x-3, R(0/4)

Dankeschön schon mal im Vorraus!!!

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mythos2002 (mythos2002)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002

Nummer des Beitrags: 492
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Montag, den 21. April, 2003 - 11:44:   Beitrag drucken

Hallo Tanja!

Voraus kommt von vor-aus, daher bitte voraus nur mit einem "r" (so wie herein)

1.
f(x) = 2/x² + 1 (da keine Klammer gesetzt)
f'(x) = -4/x³ (nach der Potenzregel, 1/x² = x^(-2)

Die Steigung der Geraden ist 1, nun suchst du auf f jenen Punkt, in dem die Steigung (der Tangente) wegen der Parallelität ebenfalls 1 ist:

Daher f'(x) = 1 setzen:

-4/x³ = 1
x³ = -4
x = -cbrt(4) [cbrt = cubicroot, 3. Wurzel)
x1 = -1,5874; dies in f(x) einsetzen ..
f(x1) = 1,7937

x1, f(x1) sind die Koordinaten des Berührungspunktes

x2, x3 nicht reell

Tangente:
Allg. Geradengleichung, wenn Punkt (x1|y1) und Steigung m gegeben sind:

da m = (y - y1)/(x - x1) ->
y - y1 = m*(x - x1)

t:
y - 1,7937 = x + 1,5874
y = x + 3,3811
===========

2.
Also das ist nicht gerade leicht ....
Zu dieser Tangentenaufgabe gibt es verschiedene, mehr oder weniger rechenintensive Ansätze.

Am leichtesten geht es, wenn man zuerst für einen allgemeinen Punkt T1(x1|y1) AUF der Kurve die Tangentengleichung aufstellt - damit erhält man eine Tangentenschar - und danach aus der Schar jene Tangenten sucht, die durch den Punkt R(0|4) gehen.

Die Steigung im Punkt T1 erhält man wieder durch die 1. Ableitung:

y = x/(x - 3)
y' = -3/(x - 3)² (Quotientenregel)

t allg.:
y - y1 = m*(x - x1)
für y1 -> x1/(x1 - 3) und m = y'(x1) setzen:

y - x1/(x1 - 3) = -(3/(x1 - 3)²) * (x - x1)
nun (x|y) durch (0|4) ersetzen!!

4 - x1(/x1 - 3) = -3*(-x1)/(x1 - 3)²
4*(x1² - 6x1 + 9) - x1*(x1 - 3) = 3x1
3x1² - 24x1 + 36 = 0
x1² - 8x1 + 12 = 0
x1 1 = 6; x1 2 = 2
y1 1 = 2; y1 2 = -2

Es gibt also 2 Tangenten mit den Berührungspunkten T1(6|2) und T2(2|-2), die zugehörigen Tangenten lauten:

t1: y = -x/3 + 4
t2: x = -3x + 4


Gr
mYthos
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mythos2002 (mythos2002)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002

Nummer des Beitrags: 493
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Montag, den 21. April, 2003 - 11:57:   Beitrag drucken

Noch eine Grafik dazu!
<Tangenten2.gif>
Tangenten2

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