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Marion
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 10:08: | 
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Hallo ihr Lieben,
könnt ihr mir bei folgender Aufgabe helfen?
Löse die Differentialgleichung
f'' - 6f' + 10f = 0
mit f(0) = 1 und f'(0) = 2
Danke, danke, danke
Marion |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 14:17: |
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Hi Marion,
Vor wenigen Tagen habe ich genau diese
Dgl. für Lars gelöst.
Ich sende Dir hier eine gekürzte Fassung
meiner Lösung
1.
Die charakteristische Gleichung:
k^2 -6 * k + 10 = 0
hat die konjugiert komplexen Lösungen
u + iv und u - iv mit
u = 3 , v = 1.
2
Die allgemeine Lösung lautet:
y = e ^ (u x) * [ c1* cos (v x) + c2 * sin (v x) ] ,
c1,c2 :Integrationskonstanten
somit:
y = f(x) = e ^ (3x) * [c1* cos x + c2 * sin x]
3.
Berücksichtigung der Anfangsbedingungen
Wir berechnen die erste Ableitung:
f '(x) = e^(3x )* [ 3*c1 * cos x + 3*c2 * sin x
- c1* sin x + c2 * cos x ]
Auswertung: f(0) = 1 führt auf c1 = 1, weiter:
f '(0)= 3 * c1 + c2 = 2 ,
daraus :
c1 = 1 , c2 = -1
Damit erhalten wir die gesuchte Lösung der Dgl.,
welche die gegebenen Bedingungen erfüllt:
f(x) = e^ (3x) * [cos x - sin x]
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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