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Nils (Deeznutz)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Dezember, 2000 - 18:59: | 
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Hallo Leute,
kann mir jemand mal grob erklären, was Isoklinen sind und was die so können?
Ich soll die "Isoklinentechnik" anwenden, um die Bedingungen für das Überleben zweier Spezies in einem LOTKA-VOLTERRA-System zu bestimmen.
Dies ist beschrieben durch die DGL-en:
x(t)´=x(t)*[a-b*y(t)]
y(t)´=y(t)*[-c+d*x(t)]
bei den Anfangsbedingungen a=2, b=12, c=5 und d=8
soll einer der Fixpunkte des L-V-Systems im inneren des Lösungsgebietes liegen.
In ewiger dankbarkeit...
...Nils |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. Dezember, 2000 - 12:47: |
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Hi Nils ,
Begriff der Isoklinen:
In der DGl. y '= f (x,y) setzen wir die Ableitung y'
gleich einer bestimmten Konstanten m an und erhalten eine
Kurve mit der Gleichung f(x,y) - m = 0
Eine solche Kurve heisst Isokline; sie verbindet diejenigen
Punkte der (x,y)-Ebene ,für welche die Lösungskurven ,
die durch diese Punkte gehen, jeweils die gleiche Steigung haben.
Sie sind hilfreich bei der Skizzierung von Lösungskurven.
Für die Lotka-Volterra-Gleichungen
(Räuber-Beute Gleichungen)
lassen sich die Isoklinen leicht finden
Wir gehen aus von den numerischen Werten, die Du vorgegeben hast.
Die Gleichungen lauten:
x°(t) = x(t )* [2-12 * y(t) ]
y°(t) = y(t) * [- 5 + 8 * x(t)]
x°,y° sind die Ableitungen von x und y nach der Zeit t.
Die Nullstellen von x° und y° liefern die sogenannten
kritischen Punkte des Systems,
nämlich A ( 0 / 0 ) und B ( 5/8; 1/6 ) .
Um die Isoklinen zu erhalten, bestimmen wir die Ableitung
dy/dx = y'(x): als Quotient der beiden Zeilen:
y '(x) = y° / x ° = [ y * ( 2 - 12 y ) ] / [ x * ( - 5 + 8 x ) ]
Dies setzen wir gleich m (konstante Steigung) und
erhalten die in x und y quadratische Gleichung:
8 m x ^ 2 + 12 y ^ 2 - 5 m x - 2 y = 0
Diese Gleichung stellt für jedes m eine Ellipse dar,
deren Mittelpunkt M fest ist und mit dem Mittelpunkt
der Strecke AB übereinstimmt.
Alle diese Ellipsen gehen durch diese Punkte A und B.
Für weitere Details muss ich auf die reichhaltige
Literatur zum Thema verweisen !
Untersucht man die Gleichungen von Lotka -Volterra näher,
so stösst man auf interessante Sachverhalte, die von
Alfred J.Lotka und Vito Volterra 1925/1926 entdeckt und
entwickelt wurden
Anlass dazu war unter anderem die Situation des Fischfangs
in der Adria.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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