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Jan
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Dezember, 2000 - 10:46: |
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berechne die allgemeine Lösung y=y(x)der Differentialgleichung y'+a*y=e^(-5x) hierbei ist a element R ein Parameter |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Dezember, 2000 - 13:52: |
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Hi Jan Wir lösen zuerst die homogene lineare DGl. y ' = - a y durch Separation der Variablen: dy/y = - a; Integration ln y = - a x + k y = e ^ ( - a x + k) = c * e ^ ( - a x ) : k , c :Integrationskonstanten Lösung der homogenen Dgl. mittels Der Methode der Variation der Konstanten. Ansatz: y = c(x) * e ^ ( - a x) ; Ableitung y' mit der Produktregel: y' = c'(x) * e ^ ( - a x ) - c ( x ) a * e ^ ( - a x ), eingesetzt in die inhomogene Gleichung liefert: c' e^(-ax) - c a e^(-ax) + a c e^(-ax) = e ^(-5x) daraus wird: c' = e ^( -5x+ax) ; Integration ergibt c=c(x): c = 1 / (a-5) * e ^(-5x + ax) + C ( C ist eine neue Integrationskonstante ) setzt man dieses Ergebnis in den Ansatz ein, so erhält man die gesuchte allgemeine Lösung: y = 1 / ( a - 5 ) * e^ ( - 5 x ) + C * e ^ ( - a x ) Anmerkung Bei obiger Lösung wird vorausgesetzt, dass der Parameter a nicht 5 ist. Für a = 5 ist jedoch y = x * e ^ (-5x ), eine partikuläre Lösung der inhomogenen Dgl., die zur allgemeinen Lösung der homogenen Dgl .addiert werden muss, damit man auch in diesem Fall die gesuchte Lösung erhält. Gruss H.R.Moser,megamath. |
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