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Beitrag |
    
anonym
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. Dezember, 2000 - 16:08: | 
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Man bestimme alle z aus C, für welche die Potenzreihe Summ(k=1 bis Unendl.) (z^k)/k konvergiert. |
Krümel
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. Dezember, 2000 - 17:56: |
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Hi!
Wer auch immer du bist, viel Spaß weiterhin in der Vorlesung von Prof. Tomi!
Krümel |
anonym
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. Dezember, 2000 - 23:15: |
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Danke, sehr hilfreich. '-) |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Dezember, 2000 - 12:30: |
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Vielleicht ist das hilfreicher:
Setze f(z) = 1/(1 - z).
Dann ist (bekanntlich?)
f(z) = Soo k=0 zk
Es folgt einerseits
f '(z) = Soo k=1 k zk-1
und andererseits
f '(z) = 1/(1 - z)².
Also
1/(1 - z)² = Soo k=1 k zk-1
und somit
z/(1 - z)² = Soo k=1 k zk.
Die Funktion g(z) = z/(1 - z)² hat in C die einzige Polstelle z = 1. Der Konvergenzradius ist maximal mit der Eigenschaft, dass keine Polstelle im Konvergenzkreis liegt. Also ist der Konvergenzradius gleich 1, d. h. für alle z mit |z| < 1 konvergiert die Reihe und für alle z mit |z| > 1 divergiert sie. Bleibt die Frage, was mit |z| = 1 ist ... |
Krümel
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Dezember, 2000 - 16:23: |
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Und noch mal hallo...
Ok, ich hab' die Aufgabe mittlerweile auch raus (wenn auch anders als Zaph...). Bei |z|=1 würde ich es mit Fallunterscheidung versuchen, dann kriegst du nämlich einmal eine alternierende Folge (Leibniz-Krit) und einmal eine divergente Reihe! (Ich hoffe das stimmt?!).
Bis denn und viel Spaß noch bei der Nr. 3+4 ;o)
Krümel |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Dezember, 2000 - 22:08: |
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Bei |z| = 1 gibt es aber mehr als zwei Fälle. Du betrachtest ja alle komplexen Zahlen, also z. B. auch z = i.
Wenn ich mich richtig erinnere, das aber ohne Gewähr, konvergiert die Reihe für alle z mit |z| = 1, außer für z = 1. |
Krümel
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Dezember, 2000 - 16:31: |
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Ups, du hast natürlich recht! Ich komme dann auf 4 Fälle, richtig?! Wobei die Reihe dann jeweils für z= i, -i und -1 konvergiert und nur für z=1 divergiert!
Danke für den Hinweis!! |
Sascha Lischer (Drvonrosenstein)
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Dezember, 2000 - 17:03: |
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Erstaunlich wieviele Heidelberger hier sind. Nun, ich finde es gut, dann brauch ICH die Aufgaben nicht reinzuschreiben. Aber wie Krümel schon sagte, viel Spaß bei Tomi. |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Dezember, 2000 - 23:37: |
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Hi Krümel, wenn Zaph mehr als zwei sagt, warum sollte er nicht angeben, wieviele es dann wären, wenn es bloß vier wären, wäre doch viel weniger Schreibarbeit, "vier" zu schreiben, statt "mehr als zwei", du müsstest unendlich viele Fälle untersuchen, denn z.B. hat die Zahl
(i+Ö3)/2 auch den Betrag 1 |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Dezember, 2000 - 18:23: |
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Vergesst bitte meinen Beitrag vom 10. Dezember, 13:30. Dort hatte ich versehentlich abgeleitet. Stattdessen muss integriert werden. Für die Stammfunktion F(z) von f(z) = 1 / (1 - z) gilt einerseits
F(z) = Soo k=0 zk+1 / (k+1) = Soo k=1 zk / k
und andererseits
F(z) = -ln(1 - z)
Also
Soo k=1 zk / k = -ln(1 - z).
Aber auch F(z) = -ln(1 - z) ist für alle z aus C \ {1} definiert. Also Konvergenzradius = 1.
Wie Bernd richtig bemerkte, muss nun noch für alle (unendlich viele!) z mit |z| = 1 die Konvergenz untersucht werden. |
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