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Juan Hector Gonzalez (Hector_Gonzi)
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Januar, 2001 - 17:17: |
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Hallo, wer kann mir bitte bei der Lösung der folgenden Gleichungen helfen: 1) z^4 = - 3(Wurzel 3) + 9i 2) z^6 - (Wurzel 2)* z³ + 1 = 0 Danke! |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Januar, 2001 - 15:23: |
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Saludo ! 1 Aufgabe Die vier Lösungen ergeben sich als die vier vierten Wurzeln aus der komplexen Zahl u = -3*wurzel (3)+i*9 = 6*wurzel(3)*[ - ½ + i * wurzel(3) / 2] Die komplexe Zahl v in der eckigen Klammer hat den Betrag eins; das Argument von v ist phi = 2*Pi /3 ( populär: 120° ) , wie wir aus der Beziehung tan(phi) = {wurzel(3) / 2}/(-1/2 ) schliessen (Punkt im Quadrant II). Für die komplexe Zahl cos (phi) + i sin (phi) verwenden wir die aus der Musik (!) stammende Abkürzung cis (phi). Dann gilt: u = 6*wurzel(3) * cis (2*Pi/3) = wurzel(108) * cis ( 2*Pi/3) Jetzt ziehen wir die vierte Wurzel aus dem Betrag r = wurzel 108 dies ergibt die achte wurzel aus 108 = R ; numerischer Wert: R ~ 1.79547. Das Argument phi wird durch vier dividiert: damit erhalten wir das Argument A der wurzel, nämlich A = phi / 4 = Pi /6 ( 30° !) Erste Lösung der Gleichung als erste der vier Wurzelwerte: z1 = R * cis (A) ~ 1.554922+ i * 0.897735 Die anderen Lösungen erhält man ,indem man der Reihe nach das Argument A um 2*Pi/4 = Pi/2 vergrössert z2 = R * cis(A+Pi/2) = -0.897735 + i*1.554922 z3 = R * cis(A + Pi) = - z1 z4 = R * cis(A + 3*Pi/2) = - z2 Ya estamos ! Con un cordial saludo H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Januar, 2001 - 18:01: |
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Hi Juan, 2. Aufgabe Wir substituieren z^3 = u und erhalten die quadratische Gleichung in u : u^2 - wurzel(2) * u + 1 = 0 mit den beiden Lösungen: u1 = ½ * wurzel(2) * [1 + i * 1 ] = ½ * wurzel(2) * cis ( Pi / 4 ) u2 = ½ * wurzel(2) * [1 - i * 1 ] = ½ * wurzel(2) * cis ( 7 * Pi / 4 ) cis (alpha) bedeutet : cos (alpha) + i sin (alpha) Um z zu bekommen ,müssen wir aus u1 und u2 je die dritte Wurzel ziehen; dies ergibt insgesamt sechs Lösungen , je drei für jeden u-Wert. Freude herrscht ! Die Zahlen u haben den Betrag eins; um ihre dritten Wurzeln zu erhalten, brauchen wir bloss ihre Argumente mit drei zu dividieren Wir erhalten der Reihe nach: z1 = cis (45°/3) = cis ( 15°) ~ 0.9659 + i* 0,2588 z2 = cis (45°/3 +360°/3 ) = cis(135°) ~ - 0.7071+ i*0.7071 z3 = cis (45°/3 +720°/3)= cis(255°) ~ - 0.2588 - i*0.9659 z4 = cis (225°/3) = cis (75°) ~ 0.2588 + i * 0.9659 z5 =.....................= cis (195°) ~ - 0.9659 - i * 0.2588 z6 = ....................= cis (315°) ~ 0.7071 - i * 0.7071 Anmerkung Die obigen Sinus - und Kosinuswerte lasen sich alle durch Wurzelterme ausdrücken, z.B.gilt: cos(15°) = ½ * wurzel [2+wurzel(3)] u.s.w. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Januar, 2001 - 18:26: |
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Hi Juan, Es gibt die sogenannte Duplizität der Fälle. Was ich damit meine: Siehe nach bei den Aufgaben, die Anna gestellt hat, welche dann von Fern in souveräner Art gelöst wurden.. Es kann nur nützlich sein, verschiedene Stilrichtungen bei der Lösung von Aufgaben kennen zu lernen. Anm.: Wenn ich mich nicht täusche, haben wir beide, Fern und ich, unabhängig voneinander, dieselben Resultate erhalten. Man sieht daraus ,wie stabil unser Fach ist ! |
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