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Supremum und Infimum

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Analysis » Arithmetische und algebraische Grundlagen » Supremum und Infimum « Zurück Vor »

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Sascha (Gull)
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Veröffentlicht am Montag, den 04. Dezember, 2000 - 20:50:   Beitrag drucken

Hi. Wer kann mir bei dieser Aufgabe helfen?

(a)
Sei xeR, x >= -1, und sei neN. Beweise(1+x)n >= 1+nx.

(b)
Sei aeR, 0 < a < 1. Zeige: 0 < an < 1, neN.

(c)
Bestimme Supremum und Infimum von
M:={(1- 1/(n2)) 2 | neN}.


Besten Dank.
Gruß, Sascha
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Daniel Groh (Cap23)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Dezember, 2000 - 09:30:   Beitrag drucken

Ok, das muesste etwa so aussehen (ist aber alles noch nicht ueberprueft!):

(a) Vollst. Ind.
n=1: (1+x)^1 >= 1+1x
n+1: (1+x)^n+1
=(1+x)^n * (1+x)
>= (1+nx)*(1+x) n.Vor.
= 1+x+nx+x²
= 1+(n+1)x + x²
Das wars! x² kann man ohne Bedenken weglassen, da x² sicher >= 0 ist (wenn die linke Seite kleiner ist als die rechte, wird sie das auch noch sein, wenn man noch etwas abzieht).

(b) Vollst.Ind.
n=1: 0 < a < 1 ist wahr n.Vor.
n+1: 0 < a^n+1 < 1
<=> 0 < a^n * a < 1
<=> 0 < a^n < 1/a (a>0 n.Vor.)
die linke Ungl. geht nach Ind.Vor.. Bleibt ZZ:
a^n < 1/a
<=> a^n*a < 1
= a^n*a < 1*a n.Ind.Vor.
<=> a^n < 1

(c) Beh.: 0 <= (1-1/n²)^n < 1 fuer alle neN
Bew.: Vollst.Ind.
0 <= (1-1/n²)^n < 1
<=> 0 <= (1-1/n²) < 1
<=> 0 < 1/n² <= 1
n=1: 0 < 1/1² <=1
n+1: 0 < 1/(n+1)² <= 1
0 < 1 <= 1(n+1)² ,(n+1)²>0

=> 0 ist gr.unt.Schr. von M, da alle xeM >= 0 und
0eM. <=> inf(M)=0
=> 1 ist ob.Schr. von M

Beh.: 1 ist kl.ob.Schr. von M.
Bew. mit Widerspruch, Ann: 1-1/m ist kl.ob.Schr.,
dann muesste 1-1/n² < 1-1/m sein, was zum Widerspruch fuehrt (Archimedes), also ist sup(M)=1.
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B.Bernd
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Dezember, 2000 - 10:57:   Beitrag drucken

Hi Daniel, du hast wahrscheinlich recht, aber ich kapier's nicht:

warum gilt in:
Bleibt ZZ:
a^n < 1/a
<=> a^n*a < 1
= a^n*a < 1*a n.Ind.Vor.
, das ist klar, aber jetzt:
<=> a^n < 1


?

Also der Schritt von an * a < 1 nach an < 1 ist mir nicht klar.
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Daniel Groh (Cap23)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Dezember, 2000 - 16:46:   Beitrag drucken

Hallo Bernd,

a^n*a < 1 ist ZZ. Jetzt wissen wir aber nach Ind.Vor., dass a^n<1 ist, also wird auch a^n*a<1*a. (auf Beiden Seiten dasselbe dazumultiplizieren veraendert die Ungl. nicht). Ich kuerze wieder mit a (a>0) und komme auf a^n < 1.
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B.Bernd
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Dezember, 2000 - 22:42:   Beitrag drucken

Hi Daniel, tut mir leid, ich verstehe das immer noch nicht, das sieht jetzt ein bisschen blöd aus, vor allem, wenn du das nicht so gemeint hast wie folgt und ich wirklich nicht blick, wo ich hängenbleib, aber ich formulier das nochmal untereinander und mit Umformungsanweisungen dahinter:

z.Z.: an * a < 1

nach Ind.-Vorauss. gilt: an < 1 |*a
<=> an * a < 1*a | :a
<=> an < 1

hast du das jetzt so gemeint?
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B.Bernd
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Dezember, 2000 - 01:20:   Beitrag drucken

Neiiin, war ich doof, ich hab's:
Selbstauferlegte Strafe: ich schreibe alles noch mal auf:

Sei a Î IR, 0 < a < 1 (<-- nenne dies Ungl. 1)
Zeige: 0 < an < 1, n Î N.


Vollständ. Induktion:

für n=1 ist Aussage 0<a1<1 wahr, da dies (Ungl. 1) entspricht

Ind.-Annahme: es gelte die Aussage für n: 0 < an < 1     |*a
<=> 0 < an+1 < a

Es gilt nach (Ungl. 1): a < 1

Also ist 0 < an+1 < a < 1

Damit gilt 0 < an+1 < 1, was die Aussage für n+1 ist.

Daniel, ich bitte dich vielmals um Vergebung für den Blödsinn, den ich geschrieben hab, vor allem für den um 23:42 Uhr!
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Sascha (Gull)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Dezember, 2000 - 11:01:   Beitrag drucken

Hi Daniel.

Hast du vielleicht auch eine Lösung für Aufgabe 2?
Die scheint mir etwas komplizierter zu sein.

Danke. ciao
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B.Bernd
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Dezember, 2000 - 11:03:   Beitrag drucken

Welche Aufgabe 2?
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Sascha (Gull)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Dezember, 2000 - 11:13:   Beitrag drucken

Diese 2.Aufgabe:

2.aufgabe

kannst du damit etwas anfangen?
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B.Bernd
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Dezember, 2000 - 11:18:   Beitrag drucken

Nein, leider nicht.
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Daniel Groh (Cap23)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Dezember, 2000 - 13:28:   Beitrag drucken

Aaaalso nochmal zu dem a^n*a < 1 Problem: Hier nochmal eine Alternative:

a^n*a < 1

Nach Ind.Vor. und Vor. von a koennen wir sagen:

0<a^n<1 und 0<a<1. Also kann man teilen und bekommt:

1 < 1 / (a^n*a)
1 < (a^n*a)^(-1) das war ein Satz aus der Vorlesung! Wir muessen zeigen, dass 0<a^n*a<1 ist und die Ungleichung stimmt. Nach Ind.Vor. ist a^n<1, also a^n*a<1*a. 1*a ist aber a, und 0<a<1, also 0<a^n*a<a<1. Das wars.

Zur zweiten Aufgabe s. anderes Topic!

Bis denne!
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B.Bernd
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Dezember, 2000 - 23:10:   Beitrag drucken

Hi Daniel, ich bitte nochmals um Entschuldigung für die voreilige Nachfragerei, wenn ich nicht jeden noch so kleinen Schritt vorgeführt bekomme, hakt's bei mir einfach:

jetzt hast du das und 0<a<1 in
...1*a ist aber a, und 0<a<1, also 0<a^n*a<a<1

mitgeschrieben, dieses fehlte in deinen beiden Beiträgen vom 6.Dezember.

Ich kann's auch nicht ändern, du siehst, wenn ich das nicht gaaanz ausfüüüührlich gezeigt bekomme, raff ich das einfach nicht.

Was du jetzt mit Satz aus der Vorlesung gemeint hast, weiß ich zwar nicht, spielt aber für mich wohl kaum eine Rolle.


Ein herzliches Dankeschön auf jeden Fall!

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