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Christian
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. Dezember, 2000 - 20:21: | 
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Hallo,
ich muß für einen Mathe-Aufsatz darlegen, was für eine Bedeutung ein Körper hat - und im speziellen was es für eine Bedeutung hat, daß Q ein Körper ist...
Hat evtl. jemand ein paar Denkansätze für mich? Vielen Dank im vorraus.
Christian |
Markus
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Dezember, 2000 - 05:11: |
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Das ist entweder LA 1 oder irgendwo in Analysis
vorgekommen : ein Körper ist eine Ansammlung von
Zahlen, die miteinander multipliziert (modulo !)
oder miteinander addiert ein Element derselben
Zahlengruppe ergeben. Zudem muss die Null Teil
der Gruppe sein, sonst liegt ein Ring vor.
Jetzt sieht man auch, warum Q ein Körper ist :
die 0 ist dabei, die Inversen der jeweils betroffenen Zahl genauso.
WM_ichhoffedashilft Markus |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Dezember, 2000 - 10:12: |
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Hi Markus!
Ich habe mal irgendwo gelesen, dass die Menge der ganzen Zahlen kein Körper, sondern ein Ring sei, aber nach Deiner "Definition" müssten Z ja auch ein Körper sein, da Addition und Multiplikation möglich sind und die 0 dabei ist.
Oder stehe ich auf dem Schlauch?
Ciao
Cosine |
Christian
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Dezember, 2000 - 11:15: |
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ja, das ist soweit schon klar, nur wozu braucht man den Begriff des Körpers??? Das meinte ich mit "Bedeutung" Trotzdem danke für die schnellen Antworten...
Christian |
Alessandro Lungo (Aless)
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Dezember, 2000 - 05:27: |
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hallo christian.
I.grundsäztlich ist ein körper eine ganz bestimmte menge.
II.bestimmt heißt, dass folgende 5 rechengesetze erfüllt sind:
1. assoziativgesetz der addition bzw. multiplikation:
a+(b+c)=(a+b)+c
a*(b*c)=(a*b)*C
2. kommutativgesetz der addition bzw. multiplikation:
a + b = b + a
a*b = b*a
3. gesetz von der existenz eines neutralen elements(nullelement):
a + 0 = a = 0 + a
a*1 = a = 1*a
4. gesetz von der existenz inverser elemente:
a + (-a) = 0
a*(1/a) = 1
5. distributivgesetz:
(a+b)*c = a*c + b*c
dies ist ein axiomensystem. besitzt eine menge genau diese eigenschaften, ist sie ein KÖRPER.
das was du oben gelesen hast, erscheint dir wahrscheinlich selbstverständlich und banal, das sind aber die wichtigsten voraussetzung für das verständnis der natur bestimmter zahlenbereiche (lineare algebra, vektorraum)...
viel spaß |
ari
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Dezember, 2000 - 08:28: |
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Hi Christian, zur Bedeutung des Körpers: zuerst beginnt man mit den natürlichen Zahlen N={1,2,3,...}. Für sie gilt: sind a, b irgendwwelche natürlichen Zahlen, so ist ihre Summe ebenfalls eine natürliche Zahl. Das gilt allerdings nicht mehr für die Umkehroperation "minus". a-b ist nur dann eine nat. Zahl, wenn a>b.
Jetzt sucht man die kleinste Erweiterung Z so, daß mit a, b aus Z sowohl a+b als auch a-b wieder in Z liegen. Das sind die ganzen Zahlen Z={... -3,-2,-1,0,1,2,3,...}.
Jetzt gilt Folgendes: für beliebige a,b aus Z hat die Gleichung a+x=b immer eine Lösung ebenfalls aus Z.
Das ist damit gemeint, wenn man sagt, daß die ganzen Zahlen bezüglich der Addition eine Gruppe bilden.
Jetzt kennt man in N und Z neben der Addition noch die Multiplikation, und es ist mit a,b aus Z auch immer a*b aus Z. Aber wie oben gilt das nicht für die Umkehroperation namens Division. a/b ist nur dann eine ganze Zahl, wenn b ein Teiler von a ist.
Also sucht man wieder eine Erweiterung Q, so daß mit a, b aus Q sowohl a*b als auch a/b wieder in Q liegen. Das sind die Brüche, Quotienten, rationale Zahlen. Einzige Einschränkung: b darf in a/b nicht Null sein.
Für jedes a (ungleich 0) und b hat die Gleichung a*x=b immer (genau) eine Lösung.
Jetzt hast Du zwei Operationen in Q: die Addition und die Multiplikation. Q ist bezüglich der Addition eine Gruppe (wie Z). Q ist bezüglich der Multiplikation ebenfalls eine Gruppe (genauer: Q ohne 0, Q \ {0}, das neutrale Element der Addition wird rausgelassen wg. Division durch Null).
Q ist der kleinste Zahlbereich, in dem nicht nur uneingeschränkt addiert und multipliziert werden kann, sondern wo vor allem auch die Umkehroperationen nie aus dem Zahlbereich herausführen.
Eine Menge wie Q mit zwei Rechenoperationen wie + und *, die beide Q zu einer Gruppe machen, nennt man halt "Körper".
Ich hoffe, das hilft weiter. Ciao. |
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