Autor |
Beitrag |
crusader
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. November, 2000 - 15:22: |
|
Zu der Matrix (1 -3 3) (3 -5 3) (6 -6 4) gibt es die Eigenwerte L1 = -2 L2 = -2 L3 = 4 Wenn man jetzt die Eigenvektoren berechnet, dann erhält man für L1 und L2 einen zweidimensionalen Eigenraum V L1,2 = [s * (1,1,0) + t(-1,0,1) ] und für L3 einen eindimensionalen Eigenraum V L3 = [ t * (1,1,2) ] In meinem Script ist das so angegeben, aber ich weiß nicht, wie unser Prof auf diese Ergebnisse kommt! Kann mir jemand helfen? |
Fern
| Veröffentlicht am Freitag, den 01. Dezember, 2000 - 13:28: |
|
Hallo crusader, Um die Eigenwerte der Matrix A zu finden, bildet man die Matrix A-IL und setzen ihre Determinante = Null. I bedeutet dabei die Einheitsmatrix. Man erhält die Matrix A-IL indem man L von den Diagonalelementen abzieht:
1 -3 3 1-L -3 3 A= 3 -5 3 und A-IL= 3 -5-L 3 6 -6 4 6 -6 4-L Die Determinante entwickeln wir z.B. nach der ersten Zeile: |-5-L 3 | |3 3 | |3 -5-L| (1-L)*| -6 4-L| +3*|6 4-L| +3*|6 -6 | = 0 usw. dies ergibt L=-2, L=-2, L=4 die gesuchten Eigenwerte. ========================================= Eigenvektoren: Zu jedem Eigenwert können wir einen Eigenvektor wie folgt bestimmen: Wir suchen Lösungen des Systems: (A-IL)x = 0 Dies ergibt unendlich viele nichttriviale Lösungen für x. Jede Lösung ist ein Eigenvektor. für L= -2: Wir setzen L=-2 in die Matrix A-IL ein: 3 -3 3 dies entspricht 3x-3y+3z=0 3 -3 3 Gleichungssystem: 3x-3y+3z=0 6 -6 6 6x-6y+6z=0 Lösung am Besten durch Reduzieren der Matrix: Ergibt: 1 -1 1 0 0 0 Daraus lesen wir ab: y und z sind frei wählbar. 0 0 0 Sagen wir: y=s und z=t Aus der ersten Zeile: x-y+z=0 also x=s-t Der gesuchte Vektor x ist also: |x| |0| |1| |-1| x = |y| = |0| + s*|1| +t*| 0| |z| |0| |0| | 1| ============================================== für L=4: -3 -3 3 1 0 -½ 3 -9 3 reduziert: 0 1 -½ 6 -6 0 0 0 0 Hier ist nur die letzte Spalte ohne Pivot, daher nur z frei wählbar. z=t aus 2. Zeile y-½z=0 also y=½*t aus 1. Zeile: x-½z=0 also x=½*t Ein Eigenvektor für L=4 also: |0| |½| x = |0| + t*|½| die Nullen kann man ja weglassen und |0| |1| mit 2 multiplizieren: |1| x = t*|1| |2| ========================================
|
Fern
| Veröffentlicht am Freitag, den 01. Dezember, 2000 - 13:31: |
|
Das mit dem "Your image here" hat keine Bedeutung. Bildübertragung funktioniert bei diesem Board nur sporadisch! |
|