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Zu den gegebenen Eigenwerten einer 3x...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Lineare Algebra » Matrizen » Zu den gegebenen Eigenwerten einer 3x3-matrix die Eigenräume ausrechnen! « Zurück Vor »

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crusader
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. November, 2000 - 15:22:   Beitrag drucken

Zu der Matrix

(1 -3 3)
(3 -5 3)
(6 -6 4)

gibt es die Eigenwerte L1 = -2 L2 = -2 L3 = 4

Wenn man jetzt die Eigenvektoren berechnet, dann erhält man für

L1 und L2 einen zweidimensionalen Eigenraum

V L1,2 = [s * (1,1,0) + t(-1,0,1) ]


und für L3

einen eindimensionalen Eigenraum

V L3 = [ t * (1,1,2) ]

In meinem Script ist das so angegeben, aber ich weiß nicht, wie unser Prof auf diese Ergebnisse kommt! Kann mir jemand helfen?
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Fern
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Veröffentlicht am Freitag, den 01. Dezember, 2000 - 13:28:   Beitrag drucken

Hallo crusader,
Um die Eigenwerte der Matrix A zu finden, bildet man die Matrix A-IL
und setzen ihre Determinante = Null.
I bedeutet dabei die Einheitsmatrix.
Man erhält die Matrix A-IL indem man L von den Diagonalelementen abzieht:
 
1 -3 3 1-L -3 3
A= 3 -5 3 und A-IL= 3 -5-L 3
6 -6 4 6 -6 4-L

Die Determinante entwickeln wir z.B. nach der ersten Zeile:
|-5-L 3 | |3 3 | |3 -5-L|
(1-L)*| -6 4-L| +3*|6 4-L| +3*|6 -6 | = 0

usw. dies ergibt L=-2, L=-2, L=4 die gesuchten Eigenwerte.
=========================================
Eigenvektoren:
Zu jedem Eigenwert können wir einen Eigenvektor wie folgt bestimmen:
Wir suchen Lösungen des Systems: (A-IL)x = 0
Dies ergibt unendlich viele nichttriviale Lösungen für x. Jede Lösung ist ein Eigenvektor.
für L= -2:
Wir setzen L=-2 in die Matrix A-IL ein:

3 -3 3 dies entspricht 3x-3y+3z=0
3 -3 3 Gleichungssystem: 3x-3y+3z=0
6 -6 6 6x-6y+6z=0

Lösung am Besten durch Reduzieren der Matrix:
Ergibt:
1 -1 1
0 0 0 Daraus lesen wir ab: y und z sind frei wählbar.
0 0 0 Sagen wir: y=s und z=t

Aus der ersten Zeile: x-y+z=0 also x=s-t
Der gesuchte Vektor x ist also:
|x| |0| |1| |-1|
x = |y| = |0| + s*|1| +t*| 0|
|z| |0| |0| | 1|
==============================================
für L=4:

-3 -3 3 1 0 -½
3 -9 3 reduziert: 0 1 -½
6 -6 0 0 0 0

Hier ist nur die letzte Spalte ohne Pivot, daher nur z frei wählbar.
z=t
aus 2. Zeile y-½z=0 also y=½*t
aus 1. Zeile: x-½z=0 also x=½*t


Ein Eigenvektor für L=4 also:

|0| |½|
x = |0| + t*|½| die Nullen kann man ja weglassen und
|0| |1| mit 2 multiplizieren:

|1|
x = t*|1|
|2|

========================================
a
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Fern
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Veröffentlicht am Freitag, den 01. Dezember, 2000 - 13:31:   Beitrag drucken

Das mit dem "Your image here" hat keine Bedeutung.
Bildübertragung funktioniert bei diesem Board nur sporadisch!

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