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Beweis für arctan-Reihe, evtl. stocha...

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Mh
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Juli, 2002 - 20:43:   Beitrag drucken

Hallo.

Ich suche immer noch nach einer Beweismöglichkeit für die Reihe arctan, die besser als die normale Potenzreihe konvergiert.
Nach einer Substitution ergibt sich die äquivalente Formel arcsin, von der ich mir erhofft hätte, sie durch Multiplikation einfacher Potenzreihen herleiten zu können. Dafür muß folgendes gezeigt werden: ReihenPr.

Auf ganze Zahlen erweitert und hübscher umgeschrieben lautet die Gleichung Summe. Vielleicht hat jemand eine Idee, die Summe stochastisch zu interpretieren und für das Problem eine einfachere Formel (nämlich die rechts vom Gleichheitszeichen!) zu finden?

Danke für jede Idee oder jeden Hinweis.
(Irgendwer muß diese verdammte Formel ja hergeleitet haben!)

Manfred
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egal
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Juli, 2002 - 11:51:   Beitrag drucken

Hallo Manfred,

y(t)=t*arcsin(t)/sqrt(1-t²) erfüllt die Dgl. t*(1-t²)*y'=y+t² , y(0)=0

Der Potenzreihenansatz y=S¥ n=0 an*t2n+2 in die Dgl eingesetzt liefert direkt die gewünschte Rekursion a0=1, (2n+1)*an=2n*an-1

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Mh (manfred)
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Neues Mitglied
Benutzername: manfred

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 19. Juli, 2002 - 17:43:   Beitrag drucken

Vielen Dank! So schön geht's... Super!
Wie kommt man auf so etwas bzw. wo hast Du das auf die Schnelle her?

Eine Kleinigkeit sei noch angemerkt:
Da die DGL x·(1-x²)·y'=y+x² die allgemeine Lösung x·[arcsin(x)+a]/sqrt(1-x²) hat, ist meine gesuchte Lösung (mit a=0) noch nicht eindeutig durch y(0)=0 festgelegt. Eine geeignetere Anfangsbedingung wäre z.B. y'(0)=0

Manfred

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