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Beitrag |
    
Susi783
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Juli, 2002 - 11:05: | 
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Hi, ihr Mathe-Asse!
Hab hier ne ganz schwere Aufgabe, bei der ich einfach net weiter weiß:
Sei auf IR³ ein Skalarprodukt gegeben, dessen Fundamentalmatrix bzgl. der Standardbasis folgende Gestalt hat:
4 1 0
1 1 1
0 1 5
Wenden Sie auf die Standardbasis e_1, e_2, e_3 das Orthonormalisierungsverfahren von Schmidt an.
Ich habe überhaupt keine Ahnung, was ich mit dieser Fundamentalmatrix anfangen soll!
Bin für jede Hilfe dankbar.
Eure Susi. |
Susi783
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Juli, 2002 - 19:53: |
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Hallo!
Es ist wirklich dringend! Kann mir denn niemand helfen??? |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 284
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Juli, 2002 - 22:16: |
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Susi :
Nenne die Matrix A. Sei x = (x_1,x_2,x_3),
y = (y_1,y_2,y_3). Dann wird durch
<x,y> := x A y^T
eine positiv definite Bilinearform definiert. (Rechne nach !)
Diese dient gemäss Aufgabenstellung als
Skalarprodukt (anstelle des "Standardskalarproduktes" <x,y> = x E y^T =
x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3 ). Damit führt man nun das Gram-Schmidt Verfahren mit den
gegebenen Vektoren durch: im Prinzip eine
einfache Rechnung .
mfg
Orion
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Susi783
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Juli, 2002 - 09:17: |
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Hi Orion!
VIelen Dank fuer deine Antwort - aber irgendwie komme ich nicht mit ihr zurecht: Wie erhalte ich denn nun bei deinem Weg die drei Vektoren, mit denen ich das GS-Verfahren durchfuehren kann???
Gruss, Susi |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 285
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Juli, 2002 - 14:52: |
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Susi :
Gemäss Aufgabenstellung ist ausgehend von der Basis {e_1,e_2,e_3} eine ONB
{u_1,u_2,u_3} zu konstruieren.
Setze wie üblich || x || := sqrt<x,x>
= (xAx^T)^(1/2).
z.B. ist || e_1 || = 2.
Start Gram-Schmidt : u_1 := e_1/|| e_1 ||
= (1/2,0,0).
v_2 = e_2 - <e_2,u_1>u_1 , u_2:= v_2/||v_2||
v_3 = e_3 - <e_3,u_1>u_1-<e_3,u_2>u_2 ,
u_3 := v_3/ ||v_3||
Damit ist man fertig. Rechne nun selbst .
Prüfe nach, dass die u_i bezüglich des
Skalarproduktes < , > wirklich eine ONB
bilden, d.h.: <u_i,u_k> = 0 für i<>k, ||u_i|| = 1.
mfg
Orion |
Susi783
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Juli, 2002 - 22:19: |
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Hi Orion!
Du sagst, zum Schluss soll ich überprüfen, dass ||u_i|| = 1 gilt. Aber wie sieht das bei dir für u_1 aus? Da gilt doch ||u_1|| = 1/2.
Was soll ich amchen?
Gruß, Susi |
Susi783
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Juli, 2002 - 22:43: |
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Mit deinem Verfahren bekomme ich als Basis heraus:
u_1 = (1/2,0,0)
u_2 = (0,1,0)
u_3 = (0,0,1)
Irgendwas stimmt da nicht. was hab ich falsch gemacht???
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;-)
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Juli, 2002 - 23:08: |
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Ich hab zwar keine Ahnung mehr von dem Gram-Schmidt Verfahren, tippe aber mal darauf, dass du dich bei u_1 verrechnet hast. Wäre u_1=(1,0,0), so hättest du eine Orthonormalbasis!
;-) |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 287
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Juli, 2002 - 07:39: |
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Hallo :
Nochmals: Das Skalarprodukt ist n i c h t
<x,y> = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3
s o n d e r n
<x,y> = xAy^T = 4x_1y_1+x_2y_2+5x_3y_3
+x_1y_2+x_2y_1+x_2y_1+x_2y_3+x_3y_2,
speziell ist das Quadrat der Norm
||x||^2 =
4x_1^2+x_2^2+5x_3^2+3x_1x_2+2x_2x_3.
Rechne nach ! Das ergibt u_1=(1/2,0,0)
==> ||u_1||=1 , <e_2,u_1>=1/2 ==>
v_2=(0,1,0)-(1/2)*(1/2,0,0) = (-1/4,1,0)
==> ||v_2|| = 1/sqrt(2) ==>
u_2 = (-sqrt(2)/4,sqrt(2),0) ==> ||u_2||=1,
<u_1,u_2> = 0 !
U.s.w.
mfg
Orion |
;-)
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Juli, 2002 - 15:32: |
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Achso, Sorry. Hatte ich vergessen...
Hast natürlich Recht!
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