Autor |
Beitrag |
Susi783
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 01. Juli, 2002 - 11:05: |
|
Hi, ihr Mathe-Asse! Hab hier ne ganz schwere Aufgabe, bei der ich einfach net weiter weiß: Sei auf IR³ ein Skalarprodukt gegeben, dessen Fundamentalmatrix bzgl. der Standardbasis folgende Gestalt hat: 4 1 0 1 1 1 0 1 5 Wenden Sie auf die Standardbasis e_1, e_2, e_3 das Orthonormalisierungsverfahren von Schmidt an. Ich habe überhaupt keine Ahnung, was ich mit dieser Fundamentalmatrix anfangen soll! Bin für jede Hilfe dankbar. Eure Susi. |
Susi783
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 01. Juli, 2002 - 19:53: |
|
Hallo! Es ist wirklich dringend! Kann mir denn niemand helfen??? |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 284 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Montag, den 01. Juli, 2002 - 22:16: |
|
Susi : Nenne die Matrix A. Sei x = (x_1,x_2,x_3), y = (y_1,y_2,y_3). Dann wird durch <x,y> := x A y^T eine positiv definite Bilinearform definiert. (Rechne nach !) Diese dient gemäss Aufgabenstellung als Skalarprodukt (anstelle des "Standardskalarproduktes" <x,y> = x E y^T = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3 ). Damit führt man nun das Gram-Schmidt Verfahren mit den gegebenen Vektoren durch: im Prinzip eine einfache Rechnung . mfg Orion
|
Susi783
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Juli, 2002 - 09:17: |
|
Hi Orion! VIelen Dank fuer deine Antwort - aber irgendwie komme ich nicht mit ihr zurecht: Wie erhalte ich denn nun bei deinem Weg die drei Vektoren, mit denen ich das GS-Verfahren durchfuehren kann??? Gruss, Susi |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 285 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Juli, 2002 - 14:52: |
|
Susi : Gemäss Aufgabenstellung ist ausgehend von der Basis {e_1,e_2,e_3} eine ONB {u_1,u_2,u_3} zu konstruieren. Setze wie üblich || x || := sqrt<x,x> = (xAx^T)^(1/2). z.B. ist || e_1 || = 2. Start Gram-Schmidt : u_1 := e_1/|| e_1 || = (1/2,0,0). v_2 = e_2 - <e_2,u_1>u_1 , u_2:= v_2/||v_2|| v_3 = e_3 - <e_3,u_1>u_1-<e_3,u_2>u_2 , u_3 := v_3/ ||v_3|| Damit ist man fertig. Rechne nun selbst . Prüfe nach, dass die u_i bezüglich des Skalarproduktes < , > wirklich eine ONB bilden, d.h.: <u_i,u_k> = 0 für i<>k, ||u_i|| = 1. mfg Orion |
Susi783
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Juli, 2002 - 22:19: |
|
Hi Orion! Du sagst, zum Schluss soll ich überprüfen, dass ||u_i|| = 1 gilt. Aber wie sieht das bei dir für u_1 aus? Da gilt doch ||u_1|| = 1/2. Was soll ich amchen? Gruß, Susi |
Susi783
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Juli, 2002 - 22:43: |
|
Mit deinem Verfahren bekomme ich als Basis heraus: u_1 = (1/2,0,0) u_2 = (0,1,0) u_3 = (0,0,1) Irgendwas stimmt da nicht. was hab ich falsch gemacht???
|
;-)
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Juli, 2002 - 23:08: |
|
Ich hab zwar keine Ahnung mehr von dem Gram-Schmidt Verfahren, tippe aber mal darauf, dass du dich bei u_1 verrechnet hast. Wäre u_1=(1,0,0), so hättest du eine Orthonormalbasis! ;-) |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 287 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Juli, 2002 - 07:39: |
|
Hallo : Nochmals: Das Skalarprodukt ist n i c h t <x,y> = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3 s o n d e r n <x,y> = xAy^T = 4x_1y_1+x_2y_2+5x_3y_3 +x_1y_2+x_2y_1+x_2y_1+x_2y_3+x_3y_2, speziell ist das Quadrat der Norm ||x||^2 = 4x_1^2+x_2^2+5x_3^2+3x_1x_2+2x_2x_3. Rechne nach ! Das ergibt u_1=(1/2,0,0) ==> ||u_1||=1 , <e_2,u_1>=1/2 ==> v_2=(0,1,0)-(1/2)*(1/2,0,0) = (-1/4,1,0) ==> ||v_2|| = 1/sqrt(2) ==> u_2 = (-sqrt(2)/4,sqrt(2),0) ==> ||u_2||=1, <u_1,u_2> = 0 ! U.s.w. mfg Orion |
;-)
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Juli, 2002 - 15:32: |
|
Achso, Sorry. Hatte ich vergessen... Hast natürlich Recht!
|
|