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maxi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Juni, 2002 - 16:02: | 
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.... eine geg. Ebene in eine andere geg. Ebene überführen, wobei der 0Pkt festbleibt und das ganze bzgl. der kanon. Basis gemacht werden soll!
ist es richtig, dass ich mir jeweils aus den geg. Ebenen den Normalenvektor abschaue, daraus zwei senkrechtzueinder gerichtete Richtungsvektoren bastle und dann die 6 mögl. Drehmatirzen dadurch ausrechne dass ich alle mögl. Übergänge von gebastelten RichtungsVektoren und jeweiligen Normalenvektoren der 1. Ebene auf die der 2.Ebene abbilde mit x (Vektor der 2. Ebene) = M(erst allg. a11-a33)*x(Vektor der 1.Ebene) und mir dann aus den Bedingungen die Werte a11-a33 ausrechne!
Ist das überhaupt richtig und geht es vielleicht einfacher???
Supervielen Dank im Voraus, wäre cool, wenn heute jmd Zeit hätte sich das durchzulesen! |
laura
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Juni, 2002 - 10:26: |
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aaaahhhh.....
dazu hätte ich auch einmal eine frage,denn ich bin ratlos.
bitte,bitte helft mir.
vielen dank
eine ebene mit cartesischem koordinatensystem werde um den nullpunkt in positiver richtung um den winkel von 30° gedreht und anschließend um den vektor (-5,2) verschoben. die entstehende abbildung ist eine drehung um den punkt P, dessen koordinaten rechnerisch ermittelt werden sollen. |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 268
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Juni, 2002 - 13:37: |
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laura :
Der gesuchte Punkt ist der Fixpunkt der
fraglichen Abbildung !
mfg
Orion |
maxi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Juni, 2002 - 09:52: |
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orion oder laura,
wisst ihr vielleicht ob man die Aufgabe so lösen muß, wie ich es schon beschrieben habe oder gibt es vielleich eine Möglichkeit die Drehmatrizen allg. anzugeben?
DANke |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 270
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Juni, 2002 - 09:20: |
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maxi :
Lösungsvorschlag :
n bzw. n' seien die Normaleneinheitsvektoren
von Original-bzw. Bildebene. Dann ist
u = n x n' ein Richtungsvektor der Schnittgeraden s und legt zugleich die Drehachse fest. Der Drehwinkel w ist aus
cos(w) = <n,n'> zu berechnen (man braucht
aber nur cos(w) und sin(w)
=± sqrt(1-cos^2(w)).
Die Hilfsdrehung U führe die x-Achse in g über
(1. Spalte von U ist =u, 2. Spalte ein beliebiger zu u orthogonaler Einheitsvektor, 3. Spalte = Kreuzprodukt aus diesen).
Die gesuchte Drehmatrix ist dann
D = U T U^t
wobei (lies zeilenweise):
T = ([1,0,0],[0,cos(w),-sin(w)],[0,sin(w),cos(w)])
mfg
Orion
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maxi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Juni, 2002 - 22:51: |
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Orion:
ich nehme an es ist immer so, dass wenn eine Ebene in eine andere Ebene durch Drehung überführt werden soll, dass dann nxn' den Richtungsvektor der Drehachse liefert, stimmt das?
Kann man immer ansetzten dass der eine Normalenvektor auf den anderen Normalenvektor abgebildet werden soll?
Ist es so dass es insgesamt nur 2 Drehungen gibt, das Ergebnis für Sin (w)=+sqrt... und
Sin (w)=-sqrt...? Denn es sind ja alle DrehungEN gefragt, also müssen es mehrere sein, ich dachte man kann das allg. ausdrücken.
ICh verstehe auch noch nicht wiso du die X-Achse auf eine gerade g abbildest und wieso du überhaupt mit einer Hilfsdrehung arbeitest, hab den Gedanken dahinter noch nicht durchblickt!!!
Über eine weitere Erklärung wäre ich dir sehr dankbar!!!
maxi
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orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 273
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Juni, 2002 - 14:41: |
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maxi :
Wenn die Ebene IE durch eine Drehung D
auf die Ebene IE' abgebildet wird, und wenn
V eine beliebige Drehung um die Normale
n' von IE' ist, also IE' auf sich abbildet, so bildet auch D_1 = V D wieder IE auf IE' ab.
Die Aufgabe hat also prinzipiell oo viele
Lösungen.
IE und IE' verlaufen ja voraussetzungsgemäss
durch O , also auch die Schnittgerade g. Diese bietet sich also naturgemäss als
Drehachse an. Weil g sowohl zu n als auch zu n' orthogonal ist, ist jeder Richtungsvektor u von g ein Skalarvielfaches von n x n' .
Eine beliebige Drehung um u kann man
nicht direkt hinschreiben (ich jedenfalls
nicht !), wohl aber eine Drehung um eine
Koordinatenachse, z.B. die x-Achse: sie
wird durch die Matrix T beschrieben. Daher
drehe ich das ganze zunächst so, dass
u in die x-Achse übergeht (das wird durch
U^t = U^(-1) bewirkt, führe alsdann T aus,
und mache schliesslich die Hilfsdrehung
wieder rückgängig (U). Das ist eine allgemein
übliche Methode in der Mathematik: Führe
durch eine geignete Transformation die
gegebene Aufgabe auf einen schon
gelösten Spezialfall zurück und mache die
Transformation wieder Rückgängig.
mfg
Orion
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maxi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juni, 2002 - 14:00: |
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Herzlichen dank, ORION!
Ich glaub ich verstehe langsam! ich nehme mal an, dass was du mit Schnittgerade s bezeichnest nennst du im Abschnitt, wo du die Hilfsdrehung U beschreibst g, richtig? Wie kannst du U so einfach aufstellen? DAs war auch ganz sicher die letzte Frage zu diesem Thema :o)
Gruß Maxi |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 274
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juni, 2002 - 14:37: |
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maxi :
Ja natürlich, s = g.
Die Matrix U^t = U^(-1) soll eine Drehung
beschreiben, welche die x-Achse, d.h.
den entsprechenden Basisvektor e_1 =
(1,0,0)^t in den normierten Vektor u
überführt. Daher ist u = 1. Spalte von U^t
("Merke: die Spalten der Abbildungsmatrix
sind die Bilder der Basisvektoren e_i").
Soll nun U^t bzw. U eine Drehung sein, so müssen
die Spaltenvektoren paarweise zueinander
orthogonal und normiert und die
Determinante | U | = 1 sein. Daher die
oben vorgeschlagene Konstruktion von U.
mfg
Orion
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maxi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juni, 2002 - 14:49: |
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Vielen lieben DAnk!!!! |
maxi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Juli, 2002 - 07:39: |
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Hi ihr Mathekönner, hat nochmal jmd Zeit für dieses Problem, orion hat's mir eigentlich schon erklährt sodass ich es verstanden habe!
Eigentlich dachte ich blicke jetzt durch!
ABER...
mein Tutor hat gestern, wenn ich nxn ausrechne und die beiden Ebenen durch den 0Pkt gehen muß ((0,0,0)t+R*nxn) noch lange nicht die Drehachse sein! Mist ich dachte ich hätte es verstanden, es war aber nicht genug Zeit dieser Lösung genauer nachzugehen! Kann da nochmal jemand was dazu sagen! |
maxi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Juli, 2002 - 07:40: |
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meint ihr mein Tutor hat recht, oder weiß keiner 'ne Antwort?
maxi |
Orion
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 10:58: |
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maxi :
Zunächst einmal ist n x n = Nullvektor !
Ferner hat dein Tutor recht : Die Achse
einer Drehung, welche IE auf IE' abbildet,
ist keineswegs notwendig = s . Das ist
aber kein Widerspruch zu meinem
Lösungsvorschlag. Bedenke, dass eine
solche Drehung nicht eindeutig bestimmt ist
(siehe meinen Beitrag 273) !
mfg
Orion
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maxi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 12:00: |
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@ orion:
meinte natürlich n x n'! Ok, die Drehachse die die eine Ebene in die andere überführt ist nicht notwenigerweise s sondern könnte auch eine andere sein, aber woher weiß ich nun, dass ich deinen Lösungsweg in einer ähnlichen Aufgabe verwenden darf?
maxi |
Orion (orion)
Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 14:48: |
|
maxi :
Das ist aber eine merkwürdige Frage.
Ich meine, man "darf" jede Lösungsmethode
für ein mathematisches Problem verwenden,
vorausgesetzt sie ist mathematisch korrekt
und liefert die geforderte Lösung. Sollte
dennoch ein Lösungsweg ausgeschlossen
sein (das wäre ggf. aus didaktischen Gründen
durchaus legitim), dann muss das
in der Aufgabenstellung klar formuliert
werden.
Uebrigens : Schon mal was von Quaternionen
gehört ? Damit kann man Drehungen
des IR^3 sehr elegant darstellen, sobald
Drehachse und Drehwinkel bekannt sind.
mfg
Orion
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maxi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 15:41: |
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@ orion:
wann ich deinen Lösungsweg verwenden "darf", soll bedeuten: wann ist dieser Lösungsweg richtig, d.h. mathematisch korrekt, bzw. führt zur richtigen Lösung, mein Tutor hat gesagt, es ist Zufall wenn man bei dieser Aufgabe zum Ziel gelangt, in anderen (ähnlichen) Aufgaben könnte dieser Lösungsweg falsch sein.
Quaternionen kenne ich nicht zumindest nicht den Namen, interessiert mich aber, aber nur wenn du Zeit und Lust hast es zu erklären, wenn's zu aufwendig ist, ist auch egal!
maxi |
Orion (orion)
Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 17:22: |
|
maxi :
Quaternionen sind Quadrupel
A = (a0,a1,a2,a3)
reeller Zahlen (man ist also im IR^4).
Speziell sei
1:= (1,0,0,0), i:= (0,1,0,0), j:=(0,0,1,0),
k:=(0,0,0,1).
Addition und Multiplikation mit Skalaren
wie bei Vektoren. Die Multiplikation wird
so definiert, dass das assoziative und distributive Gesetz und ferner die "Multiplikationstabelle"
i^2 = j^2 = k^2 := -1 ij = - ji := k, jk = - kj := i,
ki = - ik := j.
gelten.Man kann dann schreiben
A = a0 + a1 i + a2 j + a3 k
und multipliziert Quaternionen "wie üblich"
aber unter Beachtung obiger Zusatzregeln für i,j,k.
Das Quaternion
A* = a0 - a1i - a2j - a3k
heisst zu A konjugiert. Die Zahl
N(A) := sqrt(A A*)
= sqrt(a1^2 + a2^2 + a3^3 + a4^2)
heisst Norm von A. Es gilt
N(AB) = N(A)N(B).
Ferner A^(-1) := A/AA* ==> A A^(-1) = 1. ^
Die Quaternionen bilden also einen nicht-
kommutativen Körper (sog. Schiefkörper).
Schreibt man A in der "gemischten" Form A = (a0, a) mit
a = (a1,a2,a3) aus IR^3 etc.,so kann man das Produkt
AB = (a0b0 - <a,b>, aob+b0a+a x b)
notieren. (<,> Standardskalarprodukt, x :
Kreuzprodukt in IR^3).
Nun sei X := (0,x) , x = (x1,x2,x3) ein Punkt in IR^3. a sei die Drehachse, |a|=1, w sei
der Drehwinkel einer Drehung .
Dann bilden wir das Quaternion
Q = (q0,q) mit q0:= cos(w/2), q = a sin(w/2).
Das Produkt Q X Q* hat dann die Form
Q X Q* = (0,x') .
Dann rechnet man leicht nach, dass x' aus
x durch Drehung mit Achse a um den Winkel
w entsteht.
mfg
Orion
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maxi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 17:58: |
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superlieben Dank für deine Mühe, werde mal versuchen, wenn mir noch eine passende Aufgabe unterkommt, dies anzuwenden, allerdings kann ich's fürs Examen wohl vergessen, da ich mir nun sicher bin, dass wir das wirklich nicht gelernt haben. Hatte heute Megastreß mit dem Prüfungsamt, da tut's echt gut zu wissen, dass es auf der Welt noch freundliche Leute gibt, die sogar Zeit und Hirnschmalz für einen investieren, obwohl's nicht mal ihr Beruf ist und sie auch keine Kohle dafür bekommmen.
Danke
Maxi |
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