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maxi
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Juni, 2002 - 16:02: |
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.... eine geg. Ebene in eine andere geg. Ebene überführen, wobei der 0Pkt festbleibt und das ganze bzgl. der kanon. Basis gemacht werden soll! ist es richtig, dass ich mir jeweils aus den geg. Ebenen den Normalenvektor abschaue, daraus zwei senkrechtzueinder gerichtete Richtungsvektoren bastle und dann die 6 mögl. Drehmatirzen dadurch ausrechne dass ich alle mögl. Übergänge von gebastelten RichtungsVektoren und jeweiligen Normalenvektoren der 1. Ebene auf die der 2.Ebene abbilde mit x (Vektor der 2. Ebene) = M(erst allg. a11-a33)*x(Vektor der 1.Ebene) und mir dann aus den Bedingungen die Werte a11-a33 ausrechne! Ist das überhaupt richtig und geht es vielleicht einfacher??? Supervielen Dank im Voraus, wäre cool, wenn heute jmd Zeit hätte sich das durchzulesen! |
laura
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Freitag, den 14. Juni, 2002 - 10:26: |
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aaaahhhh..... dazu hätte ich auch einmal eine frage,denn ich bin ratlos. bitte,bitte helft mir. vielen dank eine ebene mit cartesischem koordinatensystem werde um den nullpunkt in positiver richtung um den winkel von 30° gedreht und anschließend um den vektor (-5,2) verschoben. die entstehende abbildung ist eine drehung um den punkt P, dessen koordinaten rechnerisch ermittelt werden sollen. |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 268 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Freitag, den 14. Juni, 2002 - 13:37: |
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laura : Der gesuchte Punkt ist der Fixpunkt der fraglichen Abbildung ! mfg Orion |
maxi
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Juni, 2002 - 09:52: |
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orion oder laura, wisst ihr vielleicht ob man die Aufgabe so lösen muß, wie ich es schon beschrieben habe oder gibt es vielleich eine Möglichkeit die Drehmatrizen allg. anzugeben? DANke |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 270 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Montag, den 17. Juni, 2002 - 09:20: |
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maxi : Lösungsvorschlag : n bzw. n' seien die Normaleneinheitsvektoren von Original-bzw. Bildebene. Dann ist u = n x n' ein Richtungsvektor der Schnittgeraden s und legt zugleich die Drehachse fest. Der Drehwinkel w ist aus cos(w) = <n,n'> zu berechnen (man braucht aber nur cos(w) und sin(w) =± sqrt(1-cos^2(w)). Die Hilfsdrehung U führe die x-Achse in g über (1. Spalte von U ist =u, 2. Spalte ein beliebiger zu u orthogonaler Einheitsvektor, 3. Spalte = Kreuzprodukt aus diesen). Die gesuchte Drehmatrix ist dann D = U T U^t wobei (lies zeilenweise): T = ([1,0,0],[0,cos(w),-sin(w)],[0,sin(w),cos(w)]) mfg Orion |
maxi
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 17. Juni, 2002 - 22:51: |
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Orion: ich nehme an es ist immer so, dass wenn eine Ebene in eine andere Ebene durch Drehung überführt werden soll, dass dann nxn' den Richtungsvektor der Drehachse liefert, stimmt das? Kann man immer ansetzten dass der eine Normalenvektor auf den anderen Normalenvektor abgebildet werden soll? Ist es so dass es insgesamt nur 2 Drehungen gibt, das Ergebnis für Sin (w)=+sqrt... und Sin (w)=-sqrt...? Denn es sind ja alle DrehungEN gefragt, also müssen es mehrere sein, ich dachte man kann das allg. ausdrücken. ICh verstehe auch noch nicht wiso du die X-Achse auf eine gerade g abbildest und wieso du überhaupt mit einer Hilfsdrehung arbeitest, hab den Gedanken dahinter noch nicht durchblickt!!! Über eine weitere Erklärung wäre ich dir sehr dankbar!!! maxi
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orion (orion)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 273 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Juni, 2002 - 14:41: |
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maxi : Wenn die Ebene IE durch eine Drehung D auf die Ebene IE' abgebildet wird, und wenn V eine beliebige Drehung um die Normale n' von IE' ist, also IE' auf sich abbildet, so bildet auch D_1 = V D wieder IE auf IE' ab. Die Aufgabe hat also prinzipiell oo viele Lösungen. IE und IE' verlaufen ja voraussetzungsgemäss durch O , also auch die Schnittgerade g. Diese bietet sich also naturgemäss als Drehachse an. Weil g sowohl zu n als auch zu n' orthogonal ist, ist jeder Richtungsvektor u von g ein Skalarvielfaches von n x n' . Eine beliebige Drehung um u kann man nicht direkt hinschreiben (ich jedenfalls nicht !), wohl aber eine Drehung um eine Koordinatenachse, z.B. die x-Achse: sie wird durch die Matrix T beschrieben. Daher drehe ich das ganze zunächst so, dass u in die x-Achse übergeht (das wird durch U^t = U^(-1) bewirkt, führe alsdann T aus, und mache schliesslich die Hilfsdrehung wieder rückgängig (U). Das ist eine allgemein übliche Methode in der Mathematik: Führe durch eine geignete Transformation die gegebene Aufgabe auf einen schon gelösten Spezialfall zurück und mache die Transformation wieder Rückgängig. mfg Orion
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maxi
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juni, 2002 - 14:00: |
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Herzlichen dank, ORION! Ich glaub ich verstehe langsam! ich nehme mal an, dass was du mit Schnittgerade s bezeichnest nennst du im Abschnitt, wo du die Hilfsdrehung U beschreibst g, richtig? Wie kannst du U so einfach aufstellen? DAs war auch ganz sicher die letzte Frage zu diesem Thema :o) Gruß Maxi |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 274 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juni, 2002 - 14:37: |
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maxi : Ja natürlich, s = g. Die Matrix U^t = U^(-1) soll eine Drehung beschreiben, welche die x-Achse, d.h. den entsprechenden Basisvektor e_1 = (1,0,0)^t in den normierten Vektor u überführt. Daher ist u = 1. Spalte von U^t ("Merke: die Spalten der Abbildungsmatrix sind die Bilder der Basisvektoren e_i"). Soll nun U^t bzw. U eine Drehung sein, so müssen die Spaltenvektoren paarweise zueinander orthogonal und normiert und die Determinante | U | = 1 sein. Daher die oben vorgeschlagene Konstruktion von U. mfg Orion
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maxi
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Freitag, den 21. Juni, 2002 - 14:49: |
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Vielen lieben DAnk!!!! |
maxi
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Juli, 2002 - 07:39: |
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Hi ihr Mathekönner, hat nochmal jmd Zeit für dieses Problem, orion hat's mir eigentlich schon erklährt sodass ich es verstanden habe! Eigentlich dachte ich blicke jetzt durch! ABER... mein Tutor hat gestern, wenn ich nxn ausrechne und die beiden Ebenen durch den 0Pkt gehen muß ((0,0,0)t+R*nxn) noch lange nicht die Drehachse sein! Mist ich dachte ich hätte es verstanden, es war aber nicht genug Zeit dieser Lösung genauer nachzugehen! Kann da nochmal jemand was dazu sagen! |
maxi
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Juli, 2002 - 07:40: |
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meint ihr mein Tutor hat recht, oder weiß keiner 'ne Antwort? maxi |
Orion
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 10:58: |
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maxi : Zunächst einmal ist n x n = Nullvektor ! Ferner hat dein Tutor recht : Die Achse einer Drehung, welche IE auf IE' abbildet, ist keineswegs notwendig = s . Das ist aber kein Widerspruch zu meinem Lösungsvorschlag. Bedenke, dass eine solche Drehung nicht eindeutig bestimmt ist (siehe meinen Beitrag 273) ! mfg Orion
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maxi
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 12:00: |
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@ orion: meinte natürlich n x n'! Ok, die Drehachse die die eine Ebene in die andere überführt ist nicht notwenigerweise s sondern könnte auch eine andere sein, aber woher weiß ich nun, dass ich deinen Lösungsweg in einer ähnlichen Aufgabe verwenden darf? maxi |
Orion (orion)
Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 12 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 14:48: |
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maxi : Das ist aber eine merkwürdige Frage. Ich meine, man "darf" jede Lösungsmethode für ein mathematisches Problem verwenden, vorausgesetzt sie ist mathematisch korrekt und liefert die geforderte Lösung. Sollte dennoch ein Lösungsweg ausgeschlossen sein (das wäre ggf. aus didaktischen Gründen durchaus legitim), dann muss das in der Aufgabenstellung klar formuliert werden. Uebrigens : Schon mal was von Quaternionen gehört ? Damit kann man Drehungen des IR^3 sehr elegant darstellen, sobald Drehachse und Drehwinkel bekannt sind.
mfg Orion
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maxi
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 15:41: |
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@ orion: wann ich deinen Lösungsweg verwenden "darf", soll bedeuten: wann ist dieser Lösungsweg richtig, d.h. mathematisch korrekt, bzw. führt zur richtigen Lösung, mein Tutor hat gesagt, es ist Zufall wenn man bei dieser Aufgabe zum Ziel gelangt, in anderen (ähnlichen) Aufgaben könnte dieser Lösungsweg falsch sein. Quaternionen kenne ich nicht zumindest nicht den Namen, interessiert mich aber, aber nur wenn du Zeit und Lust hast es zu erklären, wenn's zu aufwendig ist, ist auch egal! maxi |
Orion (orion)
Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 13 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 17:22: |
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maxi : Quaternionen sind Quadrupel A = (a0,a1,a2,a3) reeller Zahlen (man ist also im IR^4). Speziell sei 1:= (1,0,0,0), i:= (0,1,0,0), j:=(0,0,1,0), k:=(0,0,0,1). Addition und Multiplikation mit Skalaren wie bei Vektoren. Die Multiplikation wird so definiert, dass das assoziative und distributive Gesetz und ferner die "Multiplikationstabelle" i^2 = j^2 = k^2 := -1 ij = - ji := k, jk = - kj := i, ki = - ik := j. gelten.Man kann dann schreiben A = a0 + a1 i + a2 j + a3 k und multipliziert Quaternionen "wie üblich" aber unter Beachtung obiger Zusatzregeln für i,j,k. Das Quaternion A* = a0 - a1i - a2j - a3k heisst zu A konjugiert. Die Zahl N(A) := sqrt(A A*) = sqrt(a1^2 + a2^2 + a3^3 + a4^2) heisst Norm von A. Es gilt N(AB) = N(A)N(B). Ferner A^(-1) := A/AA* ==> A A^(-1) = 1. ^ Die Quaternionen bilden also einen nicht- kommutativen Körper (sog. Schiefkörper). Schreibt man A in der "gemischten" Form A = (a0, a) mit a = (a1,a2,a3) aus IR^3 etc.,so kann man das Produkt AB = (a0b0 - <a,b>, aob+b0a+a x b) notieren. (<,> Standardskalarprodukt, x : Kreuzprodukt in IR^3). Nun sei X := (0,x) , x = (x1,x2,x3) ein Punkt in IR^3. a sei die Drehachse, |a|=1, w sei der Drehwinkel einer Drehung . Dann bilden wir das Quaternion Q = (q0,q) mit q0:= cos(w/2), q = a sin(w/2). Das Produkt Q X Q* hat dann die Form Q X Q* = (0,x') . Dann rechnet man leicht nach, dass x' aus x durch Drehung mit Achse a um den Winkel w entsteht.
mfg Orion
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maxi
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 17:58: |
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superlieben Dank für deine Mühe, werde mal versuchen, wenn mir noch eine passende Aufgabe unterkommt, dies anzuwenden, allerdings kann ich's fürs Examen wohl vergessen, da ich mir nun sicher bin, dass wir das wirklich nicht gelernt haben. Hatte heute Megastreß mit dem Prüfungsamt, da tut's echt gut zu wissen, dass es auf der Welt noch freundliche Leute gibt, die sogar Zeit und Hirnschmalz für einen investieren, obwohl's nicht mal ihr Beruf ist und sie auch keine Kohle dafür bekommmen. Danke Maxi |
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