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Grenzwertbestimmung

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Analysis » Konvergenz » Grenzwertbestimmung « Zurück Vor »

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Tina
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 07. Juni, 2002 - 22:25:   Beitrag drucken

Hallo,

habe Probleme beim lösen der Aufgabe und würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte.

Ich soll folgende Grenzwerte bestimmen:

1) lim x-> 0 ((a^x - b^x) / x), (a, b > 0);
2) lim x-> 1 ((a / (1 - x^a)) - (b / (1 - x^b))), (a >< 0, b >< 0);
3) lim x-> a ((x^s - a^s) / (x^t - a^t)), (a > 0, t >< 0);
4) lim x-> 0 ((e^x + e^-x - 2) / (x - ln(1+x))
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Walter H. (mainziman)
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Mitglied
Benutzername: mainziman

Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 08. Juni, 2002 - 15:24:   Beitrag drucken

Hallo Tina,

der erste Grenzwert führt über de L'Hospital zum Ziel, weil ein unbestimmter Ausdruck der Form 0/0 entsteht; = ln(a)-ln(b)

auch der dritte Grenzwert führt über de L'Hospital zum Ziel, weil auch hier ein unbestimmter Ausdruck der Form 0/0 entsteht; = s/t * a^(s-t)

auch der vierte Grenzwert führt über de L'Hospital zum Ziel, weil auch hier ein unbst. Ausdruck der Form 0/0 entsteht; = lim[x->0] ( e^x - e^(-x) ) / (1-1/(1+x)); 2tes mal de L'Hospital = lim[x->0] ( e^x + e^(-x) ) * (1+x)^2 = 2

Mainzi Man,
a Mainzelmännchen das gerne weiterhilft
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Walter H. (mainziman)
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Mitglied
Benutzername: mainziman

Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 08. Juni, 2002 - 16:20:   Beitrag drucken

Hi Tina,

auch der zweite Grenzwert geht mit de L'Hospital
aber vorher auf gemeinsamen Nenner bringen;

a(1-x^b) - b(1-x^a)
-------------------
(1-x^b)*(1-x^a)

wenn jetzt x gegen 1 geht hast auch an unbestimmten Ausdruck der Form 0/0 und mit de L'Hospital kommt dabei folgendes raus:

-abx^(b-1) + abx^(a-1)
--------------------------------------
-bx^(b-1) - ax^(a-1) + (a+b)x^(a+b-1)

und 2tes mal de L'Hospital

-ab(b-1)x^(b-2) + ab(a-1)x^(a-2)
--------------------------------------------------
-b(b-1)x^(b-2)-a(a-1)x^(a-2)+(a+b)(a+b-1)x^(a+b-2)

jetzt kannst für x eins einsetzen, und bekommst

-ab(b-1) + ab(a-1)
------------------------------- =
-b^2+b-a^2+a+a^2+ab-a+ab+b^2-b

ab(1-b+a-1)
---------------------- =
-b^2-a^2+a^2+2ab+b^2

ab(a-b)
---------- = (a-b)/2
+2ab

Hoffentlich hilft es Dir weiter

Gruß,
Walter
Mainzi Man,
a Mainzelmännchen das gerne weiterhilft
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Manja (manja1)
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Benutzername: manja1

Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 12-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Juni, 2002 - 14:11:   Beitrag drucken

Hallo ihr beiden,

ich würde mich gern mal einmischen und auch eine Aufgabe stellen, wo der Grenzwert nach L'Hospital zu bestimmen ist:

lim x->1 (1-e^(1-x))/x-1

Könntet ihr mir weiterhelfen?

Danke
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Walter H. (mainziman)
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Benutzername: mainziman

Nummer des Beitrags: 19
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Juni, 2002 - 14:49:   Beitrag drucken

Hi,

ich geh mal davon aus, daß du a Klammer im Nenner vergessen hast, sonst würdest normal 1 einsetzen und -1 als grenzwert erhalten, daher hier mit klammer:

1 - e^(1-x)
-----------
x - 1

1 + e^(1-x)
-----------
1

=> limes = 2

Gruß,
Walter
Mainzi Man,
a Mainzelmännchen das gerne weiterhilft
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Manja (manja1)
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Benutzername: manja1

Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 12-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Juni, 2002 - 15:40:   Beitrag drucken

Ich habe wirklich die Klammer vergessen.

Trotzdem danke Mainzi Man
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Stefan Walter (walliworld)
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Junior Mitglied
Benutzername: walliworld

Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 09. September, 2002 - 14:05:   Beitrag drucken

Hallo,

kann mir jemand sagen wie man den Grenzwert der unten stehenden Folge errechnet?

<an>=(1+2+...+n)/((n+10)*(n²-n+1)^1/2)
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Orion (orion)
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Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 309
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Montag, den 09. September, 2002 - 15:12:   Beitrag drucken

Hallo :

1+2+...+n = n(n+1)/2 = (1/2)n^2*(1+1/n),

sqrt(n^2-n+1) = n*sqrt(1-1/n+1/n^2)

daher

a(n) = (1/2)(1+1/n)/(1+10/n)/sqrt(1-1/n+1/n^2)

woraus lim a(n) unmittelbar ablesbar ist.




mfg

Orion
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Christian Schmidt (christian_s)
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Benutzername: christian_s

Nummer des Beitrags: 453
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 09. September, 2002 - 15:13:   Beitrag drucken

Hi Stefan

Ich hab als Grenzwert 1/2 raus.

Ich würde dabei einfach erstmal den Zähler nach der gaußschen Summenformel zusammenfassen:
1+2+...+n=n(n+1)/2

Dann kannst du das alles noch ein bißchen vereinfachen und zusammenfassen und erhältst dann das Ergebnis.

MfG
C. Schmidt
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Stefan Walter (walliworld)
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Mitglied
Benutzername: walliworld

Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 09. September, 2002 - 15:50:   Beitrag drucken

Ja, danke erstmal!
Mein Problem ist was ich mit der Wurzel mache.

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