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Beitrag |
    
Kira
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Mai, 2002 - 07:22: | 
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Hallo ihr da draußen.
Bräuchte Hilfe:-)
f,g,h: R->R seien 2pi-periodisch.Bestimmen sie die Fourier Reihen von f,g,h in den Termen cos nx, sin nx und stellen sie fest,für welche x e R die Funktionen f,g,h durch ihre Fourier Reihen dargestellt werden.
a)f(x)=|x| (x e [-pi,pi] Was ergibt sich für x=pi/4
b)g(x):=|sinx| (x e [-pi,pi] Wie erhält man die Leibnizsche Reihe aus dem Ergebnis für x=pi/2
C)h(x):=cosh ax (x e [-pi,pi],a e R fest,a ungleich 0)Folgern sie die Partialbrucherlegung der Funktion coth pi x :=(cosh pi x)/(sinh pi x) (x ungleich 0)
Ich weiß, dass sind ne menge Aufgaben, aber bin schon dankbar für Ansätze...
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Mai, 2002 - 10:05: |
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Hi Sina,HiKira,HiSille
Hi^3
Beim Thema der Fourierreihen gibt es zur Zeit Hochbetrieb.
Die gestellten Aufgaben scheinen alle aus derselben Küche
zu stammen.; es liegt ein einziger Aufgabenzettel als Tagesmenü.
auf; ich ziehe aber i.a. ein menu à la carte vor.
Die Fragestellerinnen sind offenbar, wenn nicht sogar identisch,
mindesten in derselben Studiengruppe.
Darum begnüge ich mich mit dem Sammelname als Adressat.
Meine Empfehlung: Bessere Koordination bei der Bearbeitung
eines Fragenkatalogs
Ich mache als erstes darauf aufmerksam, dass ich die Frage
bezüglich der Leibniz-Reihe bereits ausführlich beantwortet
habe, und zwar vor genau 24 Stunden.
Ergebnis:
Kein Echo, keine Reaktion , kein Dank seitens der Fragestellerin.
Solche Unterlassungen sind für uns Aufgabenlöser
nicht sehr motivierend,und wir gehen nur zögerlich oder überhaupt
nicht mehr auf weitere Anfragen ein !
Wir sind auf solche Freizeitarbeit grundsätzlich nicht angewiesen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Mai, 2002 - 12:31: |
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Hi Kira,
Als Vorbereitung zur Aufgabe 1) ermitteln wir das Integral
J(n) = int [x * cos (n x) *dx ] in den Grenzen 0 bis Pi.
Wir berechnen zuerst das zugehörige
unbestimmte Integral mittels partieller
Integration:
int [x * cos (n x) *dx ]
= 1/n * x* sin (n x) – 1/n * int [sin(n x) *dx =
= 1/n * x* sin (n x) 1 1 / n^2 * cos (n x)
Setzen wir die Grenzen ein,so kommt
J(n) = 1/n^2 * [cos (n x ) + Pi* n * sin (Pi n )] – 1/n^2
Also:
J(n) = 0 für gerades n
J(n) = – 2 / n^2 für gerades n
Da der Graph von f(x) bezüglich der y-Achse
symmetrisch ist, die Funktion f(x) also gerade ist,
entsteht als Fourierreihe eine reine Kosinusreihe;
die Koeffizienten bn bei sin(nx) sind alle null.
Aus Symmetriegründen können wir uns bei der
Berechnung der Fourier-Koeffizienten an
bei cos(nx) auf das Integrationsintervall
[0,Pi] beschränken .
Berücksichtigt man, wie erforderlich, das ganze
Intervall [-Pi,Pi], so sind alle Koeffizienten noch
mit 2 zu multiplizieren
Beachte :für 0<= x =< Pi gilt f(x) = x
:für - Pi<= x <= 0 gilt f(x) = - x
½ * ao = 1 / (2*Pi) * int [x, x = 0..Pi] = ¼ * Pi
an = 1 / Pi * J(n) = 0 für gerades x
an = 1 / Pi *J(n) = - 2 / Pi * 1/n^2 für ungerades n
Die Fourier - Entwicklung lautet demnach_
abs(x) = ½ * Pi – 4/Pi*[ cos x / 1^2 + cos 3x / 3^2 + cos 5x / 5^2 + …]
Die rechte Seite stellt nach dem Satz von Dirichlet x absolut dar
Und zwar im abgeschlossenen Intervall –Pi bis +Pi,.
Ausserhalb dieses Intervalls stellt die rechte Seite eine
Funktion dar ,die sich durch periodische Fortsetzung
von abs (x) ergibt
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Mai, 2002 - 15:10: |
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Hi Kira
Bei der Lösung Deiner dritten Aufgabe empfehle ich Dir
ein Vorgehen, bei welchem wir zwei Fliegen auf einen Schlag
treffen können : gemeint sind die trigonometrischen
Funktionen cos (a t) und cot z einerseits und die
entsprechenden hyperbolischen Funktionen cosh (a t )
sowie coth (z) andrerseits.
Der Zusammenhang beider Funktionstypen wird durch
die folgenden Relationen gewährleistet.
sin (iz) = i sinh z ; cos (iz) = cosh z
cot (iz) = - i coth z
Die Beziehungen lassen sich leicht nach
sinh z , cosh z und coth z auflösen.
Für a nicht ganzzahlig entwickelt man zuerst
cos (a t) in eine Fourierreihe;.
Resultat:
cos(at) = 2a / Pi * sin(a Pi) * [1/(2a^2 - cos(t) /(a^2-1^2) +
cos(2 t) / (a^2-2^2) + cos(3 t) / (a^2 – 3^2) +…….]
Setze jetzt t = Pi und z = a*Pi ein und löse nach
cos(at) / sin(a Pi) = cos (z) / sin(z) = cot z auf,so
erscheint als Resultat die Partialbruchzerlegung der
trigonometrischen Kotangensfunktion:
cot z = 1/z + 2z* [1/{z^2 - Pi^2} + 1 / {z^2 –(2 Pi)^2}
+ 1 / {z^2 – ( 3 Pi)^2} +.......................] , z/Pi nicht ganzzahlig.
Jetzt kommt die Uebersetzung in der Richtung
Sprache der Trigonometrie in die Sprache der
hyperbolischen Funktionen;
das ist fast so leicht wie die Version Deutsch à Esperanto.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Mai, 2002 - 15:14: |
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Hi Kira,
Bei der Lösung Deiner dritten Aufgabe empfehle ich Dir
ein Vorgehen, bei welchem wir zwei Fliegen auf einen Schlag
treffen können : gemeint sind die trigonometrischen
Funktionen cos (a t) und cot z einerseits und die
entsprechenden hyperbolischen Funktionen cosh (a t )
sowie coth (z) andrerseits.
Der Zusammenhang beider Funktionstypen wird durch
die folgenden Relationen gewährleistet.
sin (iz) = i sinh z ; cos (iz) = cosh z
cot (iz) = - i coth z
Die Beziehungen lassen sich leicht nach
sinh z , cosh z und coth z auflösen.
Für a nicht ganzzahlig entwickelt man zuerst
cos (a t) in eine Fourierreihe;.
Resultat:
cos(at) = 2a / Pi * sin(a Pi) * [1/(2a^2 - cos(t) /(a^2-1^2) +
cos(2 t) / (a^2-2^2) + cos(3 t) / (a^2 – 3^2) +…….]
Setze jetzt t = Pi und z = a*Pi ein und löse nach
cos(at) / sin(a Pi) = cos (z) / sin(z) = cot z auf,so
erscheint als Resultat die Partialbruchzerlegung der
trigonometrischen Kotangensfunktion:
cot z = 1/z + 2z* [1/{z^2 - Pi^2} + 1 / {z^2 –(2 Pi)^2}
+ 1 / {z^2 – ( 3 Pi)^2} +.......................] , z/Pi nicht ganzzahlig.
Jetzt kommt die Uebersetzung in der Richtung
Sprache der Trigonometrie in die Sprache der
hyperbolischen Funktionen;
das ist fast so leicht wie die Version Deutsch à Esperanto.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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Kira
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Mai, 2002 - 19:38: |
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Hallo H.R.Moser,megamath,
vielen Dank für deine Tipps.
Ne ich bin nich Sille oder Sina, aber vielleicht liegt es auch einfach nur daran, dass wir alle drei in MS studieren und ich hatte nich unter Integralen nach dieser oder ähnlichen Aufgaben gesucht.Danke nochmal. |
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