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Kira
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Mai, 2002 - 07:22: |
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Hallo ihr da draußen. Bräuchte Hilfe:-) f,g,h: R->R seien 2pi-periodisch.Bestimmen sie die Fourier Reihen von f,g,h in den Termen cos nx, sin nx und stellen sie fest,für welche x e R die Funktionen f,g,h durch ihre Fourier Reihen dargestellt werden. a)f(x)=|x| (x e [-pi,pi] Was ergibt sich für x=pi/4 b)g(x):=|sinx| (x e [-pi,pi] Wie erhält man die Leibnizsche Reihe aus dem Ergebnis für x=pi/2 C)h(x):=cosh ax (x e [-pi,pi],a e R fest,a ungleich 0)Folgern sie die Partialbrucherlegung der Funktion coth pi x :=(cosh pi x)/(sinh pi x) (x ungleich 0) Ich weiß, dass sind ne menge Aufgaben, aber bin schon dankbar für Ansätze...
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Mai, 2002 - 10:05: |
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Hi Sina,HiKira,HiSille Hi^3 Beim Thema der Fourierreihen gibt es zur Zeit Hochbetrieb. Die gestellten Aufgaben scheinen alle aus derselben Küche zu stammen.; es liegt ein einziger Aufgabenzettel als Tagesmenü. auf; ich ziehe aber i.a. ein menu à la carte vor. Die Fragestellerinnen sind offenbar, wenn nicht sogar identisch, mindesten in derselben Studiengruppe. Darum begnüge ich mich mit dem Sammelname als Adressat. Meine Empfehlung: Bessere Koordination bei der Bearbeitung eines Fragenkatalogs Ich mache als erstes darauf aufmerksam, dass ich die Frage bezüglich der Leibniz-Reihe bereits ausführlich beantwortet habe, und zwar vor genau 24 Stunden. Ergebnis: Kein Echo, keine Reaktion , kein Dank seitens der Fragestellerin. Solche Unterlassungen sind für uns Aufgabenlöser nicht sehr motivierend,und wir gehen nur zögerlich oder überhaupt nicht mehr auf weitere Anfragen ein ! Wir sind auf solche Freizeitarbeit grundsätzlich nicht angewiesen. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Mai, 2002 - 12:31: |
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Hi Kira, Als Vorbereitung zur Aufgabe 1) ermitteln wir das Integral J(n) = int [x * cos (n x) *dx ] in den Grenzen 0 bis Pi. Wir berechnen zuerst das zugehörige unbestimmte Integral mittels partieller Integration: int [x * cos (n x) *dx ] = 1/n * x* sin (n x) – 1/n * int [sin(n x) *dx = = 1/n * x* sin (n x) 1 1 / n^2 * cos (n x) Setzen wir die Grenzen ein,so kommt J(n) = 1/n^2 * [cos (n x ) + Pi* n * sin (Pi n )] – 1/n^2 Also: J(n) = 0 für gerades n J(n) = – 2 / n^2 für gerades n Da der Graph von f(x) bezüglich der y-Achse symmetrisch ist, die Funktion f(x) also gerade ist, entsteht als Fourierreihe eine reine Kosinusreihe; die Koeffizienten bn bei sin(nx) sind alle null. Aus Symmetriegründen können wir uns bei der Berechnung der Fourier-Koeffizienten an bei cos(nx) auf das Integrationsintervall [0,Pi] beschränken . Berücksichtigt man, wie erforderlich, das ganze Intervall [-Pi,Pi], so sind alle Koeffizienten noch mit 2 zu multiplizieren Beachte :für 0<= x =< Pi gilt f(x) = x :für - Pi<= x <= 0 gilt f(x) = - x ½ * ao = 1 / (2*Pi) * int [x, x = 0..Pi] = ¼ * Pi an = 1 / Pi * J(n) = 0 für gerades x an = 1 / Pi *J(n) = - 2 / Pi * 1/n^2 für ungerades n Die Fourier - Entwicklung lautet demnach_ abs(x) = ½ * Pi – 4/Pi*[ cos x / 1^2 + cos 3x / 3^2 + cos 5x / 5^2 + …] Die rechte Seite stellt nach dem Satz von Dirichlet x absolut dar Und zwar im abgeschlossenen Intervall –Pi bis +Pi,. Ausserhalb dieses Intervalls stellt die rechte Seite eine Funktion dar ,die sich durch periodische Fortsetzung von abs (x) ergibt Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Mai, 2002 - 15:10: |
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Hi Kira Bei der Lösung Deiner dritten Aufgabe empfehle ich Dir ein Vorgehen, bei welchem wir zwei Fliegen auf einen Schlag treffen können : gemeint sind die trigonometrischen Funktionen cos (a t) und cot z einerseits und die entsprechenden hyperbolischen Funktionen cosh (a t ) sowie coth (z) andrerseits. Der Zusammenhang beider Funktionstypen wird durch die folgenden Relationen gewährleistet. sin (iz) = i sinh z ; cos (iz) = cosh z cot (iz) = - i coth z Die Beziehungen lassen sich leicht nach sinh z , cosh z und coth z auflösen. Für a nicht ganzzahlig entwickelt man zuerst cos (a t) in eine Fourierreihe;. Resultat: cos(at) = 2a / Pi * sin(a Pi) * [1/(2a^2 - cos(t) /(a^2-1^2) + cos(2 t) / (a^2-2^2) + cos(3 t) / (a^2 – 3^2) +…….] Setze jetzt t = Pi und z = a*Pi ein und löse nach cos(at) / sin(a Pi) = cos (z) / sin(z) = cot z auf,so erscheint als Resultat die Partialbruchzerlegung der trigonometrischen Kotangensfunktion: cot z = 1/z + 2z* [1/{z^2 - Pi^2} + 1 / {z^2 –(2 Pi)^2} + 1 / {z^2 – ( 3 Pi)^2} +.......................] , z/Pi nicht ganzzahlig. Jetzt kommt die Uebersetzung in der Richtung Sprache der Trigonometrie in die Sprache der hyperbolischen Funktionen; das ist fast so leicht wie die Version Deutsch à Esperanto. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Mai, 2002 - 15:14: |
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Hi Kira, Bei der Lösung Deiner dritten Aufgabe empfehle ich Dir ein Vorgehen, bei welchem wir zwei Fliegen auf einen Schlag treffen können : gemeint sind die trigonometrischen Funktionen cos (a t) und cot z einerseits und die entsprechenden hyperbolischen Funktionen cosh (a t ) sowie coth (z) andrerseits. Der Zusammenhang beider Funktionstypen wird durch die folgenden Relationen gewährleistet. sin (iz) = i sinh z ; cos (iz) = cosh z cot (iz) = - i coth z Die Beziehungen lassen sich leicht nach sinh z , cosh z und coth z auflösen. Für a nicht ganzzahlig entwickelt man zuerst cos (a t) in eine Fourierreihe;. Resultat: cos(at) = 2a / Pi * sin(a Pi) * [1/(2a^2 - cos(t) /(a^2-1^2) + cos(2 t) / (a^2-2^2) + cos(3 t) / (a^2 – 3^2) +…….] Setze jetzt t = Pi und z = a*Pi ein und löse nach cos(at) / sin(a Pi) = cos (z) / sin(z) = cot z auf,so erscheint als Resultat die Partialbruchzerlegung der trigonometrischen Kotangensfunktion: cot z = 1/z + 2z* [1/{z^2 - Pi^2} + 1 / {z^2 –(2 Pi)^2} + 1 / {z^2 – ( 3 Pi)^2} +.......................] , z/Pi nicht ganzzahlig. Jetzt kommt die Uebersetzung in der Richtung Sprache der Trigonometrie in die Sprache der hyperbolischen Funktionen; das ist fast so leicht wie die Version Deutsch à Esperanto. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath.
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Kira
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Mai, 2002 - 19:38: |
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Hallo H.R.Moser,megamath, vielen Dank für deine Tipps. Ne ich bin nich Sille oder Sina, aber vielleicht liegt es auch einfach nur daran, dass wir alle drei in MS studieren und ich hatte nich unter Integralen nach dieser oder ähnlichen Aufgaben gesucht.Danke nochmal. |
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