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Tom
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Mai, 2002 - 19:38: | 
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HI!
Könnte jemand mir bei diesen Aufgaben den genauen Lösungweg angeben???? Für jede Hilfe wäre ich dankbar.
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1)
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Lösen Sie das Anfangswertproblem
y''+xy'+y=0, y(0)=1, y'(0)=0
mit Hilfe eines Potenzreihenansatzes.
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2)
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Es sei l^unentl. der Vektorraum der beschränkten Folgen x=(x_0,x_1,...) reeller Zahlen.
(a) Zeigen Sie, dass durch
||x||_unentl.=sup|x_n| und ||x||=
unentl.
SUMME 2^-n|x_n| Normen auf l^unentl. gegeben
n=0
sind.
(b) Zeigen Sie, dass ||x||<=||x||_unentl. für alle x aus l^unentl. gilt.
(c) Beweisen oder widerlegen Sie, dass es ein C>0 gibt mit ||x||_unentl.<=C*||x|| für alle
x aus l^unentl..
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Viele Grüße
Tom |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 244
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Mai, 2002 - 09:16: |
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Tom :
Im Moment komme ich ausführlich nur zu
1) Ansatz :
y(x) = sum[n=0...oo] a(n)*x^n.
Anfangsbedingungen ==> a(0) = 1 , a(1) = 0.
Differenziere gliedweise, setze in die Dgl.
ein und setze den Koeffizeinten von x^n
gleich Null ==>
(n+1)(n+2) *a(n+2) + (n+1)*a(n) = 0 , n >= 0
Daraus folgt (Induktion !)
a_(2k+1) = 0 für k >= 0
sowie für gerade Indizes
a(2k) = (-1)^k/(2^k*k!) , k >= 0.
Somit
y(x) = sum[k=0...oo](- x^2/2)/k! = exp(- x^2/2).
Einsetzprobe !
2) Die definierenden Eigenschaften einer Norm sind
(1) || x || >= 0 und || x || = 0 <==> x = 0
(2) || k x || = |k|*|| x || für k in IR
(3) || x + y || =< || x || + || y ||.
Das rechnet man für beide Fälle einfach
nach (beachte die Dreiecksunkleichung
|a+b| =< |a| + |b| sowie die geometrische
Reihe sum[n=0..oo] 2^(-n) = 1)
mfg
Orion
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Tom
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Mai, 2002 - 11:52: |
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Vielen Dank für Hilfe.
Orion, könntest du mir vielleicht noch mal bitte aufschreiben, wie ich bei Aufg. 1 die Einsetzprobe mache??
Wenn du noch Zeit hättest, könntest du mir bitte bei Aufg. 2 eine ausführliche Lösung geben????
Viele Grüße
Tom |
babe
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Mai, 2002 - 11:54: |
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Frage: Wie beweise ich dann teil (c)? Dazu fällt mir garnichts ein! Für hilfe wäre ich dankbar
viele grüße
babe |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 246
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Mai, 2002 - 16:04: |
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Hallo Tom, babe :
ad 1) y(x) = exp(- x^2/2) in die Dgl. einsetzen
und verifizieren, dass sie erfüllt ist : das
sollte wohl ohne Hilfestellung möglich sein.
ad 2) Zunächst sollte es wohl heissen
|| x || = sum[n=0...oo] 2^(-n-1)*| x(n) |.
Wegen
| x(n) | =< sup {| x(k) |: k in IN _0} = || x ||_oo
gilt dann
|| x || =< || x ||_oo* sum[n=0...oo]2^(-n-1)
= || x ||_oo
denn sum[n=0...oo]2^(-n-1) = 1 (korrigiere
meine entsprechende Formel von oben).
Die Eigenschaften (1)-(3) sollte man wirklich
selbständig verifizieren können , ein wenig
Eigenleistung ist schon vonnnöten !
Kommen wir nun zu c) : Da muss man ein wenig überlegen. Ist die gegebene Aussage
oder ihre Negation wahr ?
Dieses hiesse ausführlich formuliert :
Zu jeder Zahl C > 0 gibt es eine Folge
x in l_oo derart, dass || x ||_oo > C*|| x ||. Anders gesagt : Durch passende Wahl
von x lässt sich der Quotient || x ||_oo/|| x ||
beliebig gross (d.h. grösser als jedes
gebene positive C ) machen.
Wir entschliessen uns, letzteres zu beweisen (d.h. die gegebene Aussage zu widerlegen).
Dazu konstruieren wir also passende x . Wir fixieren k in IN und definieren x durch
x_n := 2^(k+1) für n=k, x_n:= 0 für n <> k.
(alle Folgenglieder =0 bis auf eines).
Dann ist || x ||_oo = 2^(k+1) , || x || = 1,
und || x ||_oo / || x || = 2^(k+1) lässt sich offenbar durch passende Wahl von k beliebig gross machen.
mfg
Orion
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Tom
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Juni, 2002 - 14:42: |
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HI,
wer kann bitte zeigen wie ich y(x) = exp(- x^2/2) in die Dgl. einsetze
und verifiziere????
Und wenn möglich auch die Aufg. 2.
Vielen Dank |
jeansbabe
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Juni, 2002 - 10:32: |
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hallo tom!
bilde die 1. und 2. ableitung von y(x)=e^[(-x^2)/2]. nun hast du y' und y''.
dann setzt du diese in y''+xy'+y=0 ein.
es fällt dann alles weg so dass 0=0 ist und damit Y(x) die gleichung erfüllt.
viele grüße
jeansbabe |
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