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Tom
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Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Mai, 2002 - 19:38: |
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HI! Könnte jemand mir bei diesen Aufgaben den genauen Lösungweg angeben???? Für jede Hilfe wäre ich dankbar. ---------------------------------------------- 1) ---------------------------------------------- Lösen Sie das Anfangswertproblem y''+xy'+y=0, y(0)=1, y'(0)=0 mit Hilfe eines Potenzreihenansatzes. ---------------------------------------------- 2) ---------------------------------------------- Es sei l^unentl. der Vektorraum der beschränkten Folgen x=(x_0,x_1,...) reeller Zahlen. (a) Zeigen Sie, dass durch ||x||_unentl.=sup|x_n| und ||x||= unentl. SUMME 2^-n|x_n| Normen auf l^unentl. gegeben n=0 sind. (b) Zeigen Sie, dass ||x||<=||x||_unentl. für alle x aus l^unentl. gilt. (c) Beweisen oder widerlegen Sie, dass es ein C>0 gibt mit ||x||_unentl.<=C*||x|| für alle x aus l^unentl.. ----------------------------------------------- Viele Grüße Tom |
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orion (orion)
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Erfahrenes Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 244 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Mai, 2002 - 09:16: |
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Tom : Im Moment komme ich ausführlich nur zu 1) Ansatz : y(x) = sum[n=0...oo] a(n)*x^n. Anfangsbedingungen ==> a(0) = 1 , a(1) = 0. Differenziere gliedweise, setze in die Dgl. ein und setze den Koeffizeinten von x^n gleich Null ==> (n+1)(n+2) *a(n+2) + (n+1)*a(n) = 0 , n >= 0 Daraus folgt (Induktion !) a_(2k+1) = 0 für k >= 0 sowie für gerade Indizes a(2k) = (-1)^k/(2^k*k!) , k >= 0. Somit y(x) = sum[k=0...oo](- x^2/2)/k! = exp(- x^2/2). Einsetzprobe ! 2) Die definierenden Eigenschaften einer Norm sind (1) || x || >= 0 und || x || = 0 <==> x = 0 (2) || k x || = |k|*|| x || für k in IR (3) || x + y || =< || x || + || y ||. Das rechnet man für beide Fälle einfach nach (beachte die Dreiecksunkleichung |a+b| =< |a| + |b| sowie die geometrische Reihe sum[n=0..oo] 2^(-n) = 1) mfg Orion
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Tom
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Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Mai, 2002 - 11:52: |
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Vielen Dank für Hilfe. Orion, könntest du mir vielleicht noch mal bitte aufschreiben, wie ich bei Aufg. 1 die Einsetzprobe mache?? Wenn du noch Zeit hättest, könntest du mir bitte bei Aufg. 2 eine ausführliche Lösung geben???? Viele Grüße Tom |
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babe
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Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Mai, 2002 - 11:54: |
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Frage: Wie beweise ich dann teil (c)? Dazu fällt mir garnichts ein! Für hilfe wäre ich dankbar viele grüße babe |
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orion (orion)
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Erfahrenes Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 246 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Mai, 2002 - 16:04: |
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Hallo Tom, babe : ad 1) y(x) = exp(- x^2/2) in die Dgl. einsetzen und verifizieren, dass sie erfüllt ist : das sollte wohl ohne Hilfestellung möglich sein. ad 2) Zunächst sollte es wohl heissen || x || = sum[n=0...oo] 2^(-n-1)*| x(n) |. Wegen | x(n) | =< sup {| x(k) |: k in IN _0} = || x ||_oo gilt dann || x || =< || x ||_oo* sum[n=0...oo]2^(-n-1) = || x ||_oo denn sum[n=0...oo]2^(-n-1) = 1 (korrigiere meine entsprechende Formel von oben). Die Eigenschaften (1)-(3) sollte man wirklich selbständig verifizieren können , ein wenig Eigenleistung ist schon vonnnöten ! Kommen wir nun zu c) : Da muss man ein wenig überlegen. Ist die gegebene Aussage oder ihre Negation wahr ? Dieses hiesse ausführlich formuliert : Zu jeder Zahl C > 0 gibt es eine Folge x in l_oo derart, dass || x ||_oo > C*|| x ||. Anders gesagt : Durch passende Wahl von x lässt sich der Quotient || x ||_oo/|| x || beliebig gross (d.h. grösser als jedes gebene positive C ) machen. Wir entschliessen uns, letzteres zu beweisen (d.h. die gegebene Aussage zu widerlegen). Dazu konstruieren wir also passende x . Wir fixieren k in IN und definieren x durch x_n := 2^(k+1) für n=k, x_n:= 0 für n <> k. (alle Folgenglieder =0 bis auf eines). Dann ist || x ||_oo = 2^(k+1) , || x || = 1, und || x ||_oo / || x || = 2^(k+1) lässt sich offenbar durch passende Wahl von k beliebig gross machen. mfg Orion
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Tom
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Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Samstag, den 01. Juni, 2002 - 14:42: |
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HI, wer kann bitte zeigen wie ich y(x) = exp(- x^2/2) in die Dgl. einsetze und verifiziere???? Und wenn möglich auch die Aufg. 2. Vielen Dank |
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jeansbabe
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Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 03. Juni, 2002 - 10:32: |
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hallo tom! bilde die 1. und 2. ableitung von y(x)=e^[(-x^2)/2]. nun hast du y' und y''. dann setzt du diese in y''+xy'+y=0 ein. es fällt dann alles weg so dass 0=0 ist und damit Y(x) die gleichung erfüllt. viele grüße jeansbabe |
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