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Beitrag |
    
MatheSchlumpf
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Mai, 2002 - 20:44: | 
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ziemlich haarige Geschichte, ich wäre über
Hilfe sehr dankbar:
a) zeige, dass mit d:={x e R | -1 < x} die Funktion f: D --> R mit f(s)= s/(1+s), -1 < s e R, auf D stetig und streng monoton wachsend ist. Bestimme das Intervall f(D).
b) Zeige damit, dass für alle s,t e R gilt (s+t)/(1+|s+t|)<= |s|/(1+|s|)+|t|/(1+|t|).
Tiefsten Dank im Voraus |
Tyll (tyll)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: tyll
Nummer des Beitrags: 75
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 12:44: |
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HI!
Also noch mal in Reinform:
f: R>-1 -> R; x -> x/(1+x) stetig und streng monoton wachsend ist.
Teile f in die Funktionen g = id und h(x) = 1+x auf. Die beiden sind stetig, also auch g/h, da x>-1 gilt.
Seien nun x,y aus R mit x<y => x+xy < y+xy => x(1+y) < y(1+x) => x/(1+x) < y/(1+y) q.e.d
Da f stetig ist, gibt es keine definitionslücken, also reicht es aus, die Ränder des Dinitionsbereiches zu untersuchen. Da aber einerseits f str. mon. wachsend ist für alle x gilt: 1+x > x ist f durch 1 beschränkt. Gleichzeitig ist 1 die kleinste obere Schranke von f, also ist 1 Grenzwert für x->+¥.
Für x-> -1 gilt: 1+x -> 0, also folgt: f(x)-> -¥.
b) Muß wohl heißen, (|s+t|)/(1+|s+t|)<= |s|/(1+|s|)+|t|/(1+|t|), oder?
jetzt wirds lang und unübersichtlich, da ich es elementar zeige:
|s+t| <= |s| + |t| + 2|s||t| + |s+t|*(|s|*|t|)
=> |s+t| (|s|*|t| + |s| + |t| +1) <= |s| + |t| + 2|s||t| + |s+t|*(2|s|*|t| + |s|+|t|)
=> |s+t|(|s|+1)(|t|+1) <= |s| + |t| + 2|s||t| + |s+t|*(|s|*|t| + |s|) + |s+t|*(|s|*|t| + |t|)
=> |s+t|(|s|+1)(|t|+1) <= |s| + |s||t| + |s+t|*(|s|*|t| + |s|) + |t| + |s||t| + |s+t|*(|s|*|t| + |t|)
=> |s+t|(|s|+1)(|t|+1) <= (1 + |s+t|)*(|t|+1)|s| + (1 + |s+t|)*(|s|+1)|t|
=> |s+t|/(1+|s+t|) <= |t|/(1+|t|) + |s|/(1+|s|)
q.e.d
Gruß
Tyll |
MatheSchlumpf
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. Mai, 2002 - 13:04: |
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Besten Dank! |
MatheSchlumpf
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Mai, 2002 - 12:41: |
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Leider gibt es noch zwei Ungereimtheiten:
a) wieso sind die beiden stetig (Beweis?)
b) hier steht im Zähler tatsächlich s+t nicht |s+t|, was dann? |
Tyll (tyll)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: tyll
Nummer des Beitrags: 79
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Mai, 2002 - 13:06: |
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Hi Schlumpf!
a) Hmmm, also die Stetigkeit von g:x->x wist du doch wohl nachweisen können, oder?
Für h:x->1+x geht das genauso. Seien x,y aus R>-1 e aus R>0 und d:=e mit |x-y|<d. Dann gilt: |h(x)-h(y)| = |x+1-y-1| = |x-y| < d = e q.e.d
b) Wenn das echt kein Schreibfehler ist, dann dürfte sich daran nichts ändern, einfach statt |s+t| und die ersten |s|+|t| durch das entsprechende ersetzen. geht trotzdem.
Gruß
Tyll |
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