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Beitrag |
    
Nicole
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 15:12: | 
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Hallo, ich muß diese Aufgabe vorrechnen und brauche von irgend jemanden unbedingt die Hilfe, da ich das selbst nicht hinbekomme. Wenn mir jemand helfen kann, wäre ich sehr dankbar}
a0 := 1 und an+1 := 1+(1/an) , n Element von N
a) angenommen diese rekursiv definierte Folge (an) von n=0 bis unendlich ist konvergent. Welcher Geleichung genügt dan ihr Limes a, und was ist der Wert von a ?
b) Beweisen Sie die Konvergenz der Folge (an) von n=0 bis unendlich, indem Sie ein q mit 0<q<1 und |a-an+1|=<q|a-an| , n Element von N, bestimmen. Wie folgt daraus die Konvergenz?
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orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 219
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 17:30: |
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Nicole :
Wir zeigen zunächst, dass
(1) 1 =< a(n) =< 2 für alle n >= 0.
Das stimmt für n=0 und sei für irgendein
n >=0 schon gesichert (Induktionsannahme).
Dann gilt 1/2 =< 1/a(n) =< 1 ==>
1 < 3/2 =< a(n+1) =< 2, womit (1) gezeigt ist.
Wenn nun a = lim a(n) existiert, so gilt
auch lim a(n+1) = a und lim{1/a(n)} = 1/a
(Grenzwertformeln ! ), folglich muss sein
(2) a = 1 + 1/a <==> a^2 - a - 1 = 0
Wegen (1) ist a > 0 , folglich
(3) a = (1/2)(1 + sqrt(5)).
Nun schätzen wir |a - a(n+1)| ab :
|a - a(n+1| = |a-1-1/a(n)|
= | (a-1)a(n) - 1|/a(n) =< |(a-1)a(n) - 1|
(beachte (1) !) . Wegen (2) ist 1 = a(a-1), also
|a - a(n+1)| =< |a-1|*|a - a(n)|
Dies ist die gewünschte Abschätzung , denn
offenbar gilt
0 < q := |a-1| = (1/2)*(-1 + sqrt(5)) < 1.
Aus dieser Abschätzung folgt sofort induktiv
|a - a(n)| =< q^n*|a - a(0)| = q^(n+1).
Also ist (a - a(n)) eine Nullfolge.
Bemerkung : Es ist a(n) = F(n+2)/F(n+1),
wobei (F(n)) die Fibonaccifolge ist :
F(0) = 0 , F(1) = 1 , F(n+2) = F(n+1) + F(n).
mfg
Orion
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Nicole
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Mai, 2002 - 19:44: |
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Vielen Dank Orion
Ciao
nicole |
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