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Beweis, dass Sn=1oo(2n-1)/2n = 3 ...

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Jodokus
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 17. Mai, 2002 - 21:00:   Beitrag drucken


Hallo.

Ich vermute, dass

Soo n=1(2n-1)/2n = 3

ist.

Wie kann ich das beweisen?
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Xell (vredolf)
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Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: vredolf

Nummer des Beitrags: 54
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 18. Mai, 2002 - 00:07:   Beitrag drucken

Hi Jodokus!

S := sum((2n-1)/2^n,n=1..inf):

S = 1/2 + 3/4 + 5/8 + 7/16 + ... + (2k-1)/2^k
= sum(1/2^k,k=1..inf) + 2 * [ sum(1/2^k,k=2..inf) + sum(1/2^k,k=3..inf) + ...]
= 1 + 2 * sum(1/2^k,k=1..inf) = 1 + 2 * 1 = 3

Das ist die unformale Kurzfassung. Das ganz sauber hin-
schreiben schaffst du jetzt sicher selbst ?

Gruß,
X.
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Jodokus
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 18. Mai, 2002 - 00:37:   Beitrag drucken

Hi Xell, erstmal Danke.

am formal sauberen Aufschrieb sollte es bei mir nicht scheitern, an der Kürze leider schon.
Ich verstehe nicht, wie du so schnell auf die mittlere Zeile [mit der eckigen Klammer] kommst.


Ich habe es mir inzwischen so umgeformt:

Soon=1(2n-1)/2n
= Soon=1 ( 2n/2n - 1/2n)
= 2Soon=1 n/2n - Soon=1 1/2n
Der Wert der letzten Summe ist 1, bliebe noch zu zeigen, dass

Soon=1 n/2n = 2 ist.
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Xell (vredolf)
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Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: vredolf

Nummer des Beitrags: 55
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 18. Mai, 2002 - 14:33:   Beitrag drucken

Hi Jodokus!

Ich zeige, wie ein Beweis deiner ersten Vermutung zu
konstruieren ist also, wieso sum((2n-1)/2^n,n=1..inf) = 3

Ich benutze wieder die informelle "..."-Notation aus dem
Grunde, dass sie anschaulicher sein mag. Das Umformen
dieser in formell korrekte Schreibweise sei dir überlassen.

s := sum((2n-1)/2^n,n=1..inf)
G(k) := sum(1/2^n,n=k..inf)

s = 1/2 + 3/4 + 5/8 + 7/16 + ...
= (1/2 + 1/4 + 1/8 + ...) + (1/4 + 1/8 + 1/16 + ...)
+ (1/4 + 1/8 + 1/16 + ...) + (1/8 + 1/16 + 1/32 + ...) + ...
Wir spalten die Summe also einfach auf in verschiedene
uns bekannte, geometrische Reihen. Wir erhalten dann:
s = a_1 * G(1) + a_2 * G(2) + a_3 * G(3) + a_4 * G(4) + ...
Es ist offensichtlich a_1 = 1, da genau eine Reihe mit
1/2 beginnt.
a_2, a_3, ... sind alle gleich 2 (Warum?)
Damit kommen wir zur Formel
s = G(1) + 2 * G(2) + 2 * G(3) + ...
= G(1) + 2 * (G(2) + G(3) + G(4) + ...)

Für G(k) gilt offenbar
sum(G(k),k=j..inf) = G(j-1) für j>0

Daraus erhalten wir
s = G(1) + 2 * G(1) = 3 * G(1)

G(1) kennen wir, damit ist die Aufgabe gelöst.


Gruß, X.


P.S.: s = sum(1/2^k,k=1..inf) + 2 * sum(sum(1/2^k,k=j..inf),j=2..inf)
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Xell (vredolf)
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Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: vredolf

Nummer des Beitrags: 56
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 18. Mai, 2002 - 14:50:   Beitrag drucken

Hi Jodokus!

Ich zeige, wie ein Beweis deiner ersten Vermutung zu
konstruieren ist also, wieso sum((2n-1)/2^n,n=1..inf) = 3

Ich benutze wieder die informelle "..."-Notation aus dem
Grunde, dass sie anschaulicher sein mag. Das Umformen
dieser in formell korrekte Schreibweise sei dir überlassen.

s := sum((2n-1)/2^n,n=1..inf)
G(k) := sum(1/2^n,n=k..inf)

s = 1/2 + 3/4 + 5/8 + 7/16 + ...
= (1/2 + 1/4 + 1/8 + ...) + (1/4 + 1/8 + 1/16 + ...)
+ (1/4 + 1/8 + 1/16 + ...) + (1/8 + 1/16 + 1/32 + ...) + ...
Wir spalten die Summe also einfach auf in verschiedene
uns bekannte, geometrische Reihen. Wir erhalten dann:
s = a_1 * G(1) + a_2 * G(2) + a_3 * G(3) + a_4 * G(4) + ...
Es ist offensichtlich a_1 = 1, da genau eine Reihe mit
1/2 beginnt.
a_2, a_3, ... sind alle gleich 2 (Warum?)
Damit kommen wir zur Formel
s = G(1) + 2 * G(2) + 2 * G(3) + ...
= G(1) + 2 * (G(2) + G(3) + G(4) + ...)

Für G(k) gilt offenbar
sum(G(k),k=j..inf) = G(j-1) für j>0

Daraus erhalten wir
s = G(1) + 2 * G(1) = 3 * G(1)

G(1) kennen wir, damit ist die Aufgabe gelöst.


Gruß, X.


P.S.: s = sum(1/2^k,k=1..inf) + 2 * sum(sum(1/2^k,k=j..inf),j=2..inf)
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Jodokus
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 24. Mai, 2002 - 20:04:   Beitrag drucken

Hi Xell, mittlerweile verstehe ich die Umformung zu
s = G(1) + 2 * (G(2) + G(3) + G(4) + ...)

aber was bei dir für G(k) "offenbar" gilt, ist für mich nicht so offensichtlich:
Wie kommst du von da aus weiter auf
sum(G(k),k=j..inf) = G(j-1) für j>0
?

MfG Jodokus

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Jodokus
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 24. Mai, 2002 - 20:12:   Beitrag drucken

Ich verfolge den von mir eingeschlagenen Weg auch nochmal weiter und möchte wissen, ob da irgendwo ein Haken hängt oder ob das alles so richtig ist:


Ich möchte also zunächst beweisen, dass
Sn=1oo n/2n = 2 ist; dies soll in vier Teilen geschehen:


1) die geometrische Summenformel Sk=0n qk = (qn+1-1)/(q-1) wird beidseitig nach q abgeleitet
2) Das n wird auf beiden Seiten gegen oo laufen gelassen (für |q| < 1)
3) Nach einer Multiplikation mit q auf beiden Seiten wird sich die Formel
Sk=1oo k*qk = q/(q-1)² ergeben.
4) q=½ einsetzen, und der Beweis müsste fertig sein.


1)

Sk=0n qk = (qn+1-1)/(q-1) beidseitig nach q ableiten:

Sk=0n k*qk-1 = [(n+1)qn*(q-1)-(qn+1-1)*1]/(q-1)²




Sk=1n k*qk-1 = [nqn+1 -nqn + qn+1 -qn -qn+1 +1]/(q-1)²

Sk=1n k*qk-1 = [nqn+1 -nqn -qn]/(q-1)² +1/(q-1)²




Sk=1n k*qk-1 = qn [nq -n -1]/(q-1)² + 1/(q-1)²



2)

Grenzübergang n ---> oo
ab hier gelte die Einschränkung: |q| < 1

Sk=1oo k*qk-1 = limn --> oo qn [n(q-1) -1]/(q-1)² + 1/(q-1)² (#)



limn --> oo qn[n(q-1) -1]
= limn --> oo (q-1)nqn - limn --> oo qn

Der limn --> oo (q-1)nqn ist gleich 0, da die Folge nqn für |q|<1 eine Nullfolge ist, denn:
von einem n zum nächsthöheren wächst das n linear jedesmal um 1, das qn schrumpft jedesmal um denselben Faktor 1/q.

limn --> oo qn = 0 gilt sowieso, also ist auch

limn --> oo qn[n(q-1) -1] = limn --> oo (q-1)nqn - limn --> oo qn
= 0
und damit auch
limn --> oo qn [n(q-1) -1]/(q-1)² = 0

Also fällt in der Gleichung (#) der Summand mit dem blauen Zähler weg und es steht da:
Sk=1oo k*qk-1 = 1/(q-1)²




3)
beidseitig mit q multiplizieren führt auf:
Sk=1oo k*qk = q/(q-1)²



4)
mit q=½ wird daraus:

Sk=1oo k/2k = ½/(½-1)² = ½/¼ = 2

und mit Sk=1oo k/2k = 2 würde eine Antwort auf meine zuoberst gestellte Frage stehen:

Sk=1oo (2n-1)/2k = 2Sk=1oo k/2k - Sk=1oo 1/2k
= 2*2 - 1
= 3



Ginge das so auch?
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Xell (vredolf)
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Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: vredolf

Nummer des Beitrags: 62
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 25. Mai, 2002 - 13:21:   Beitrag drucken

Hi Jodokus!

Zu zeigen:
G:=sum(G(k),k=j..inf) = G(j-1) für j>0, wenn G(k)=sum(1/2^n,n=k..inf)
Es ist:
G = G(j) + G(j+1) + G(j+2) + ...

Da G(c-1) = 2 * G(c) ; j>0 (ist dies einzusehen?)
=> G = G(j) + G(j+1) + G(j+2) + ...
= G(j) + 1/2 * G(j) + 1/4 * G(j) + ...
= (1 + 1/2 + 1/4 + ...) * G(j) = 2 * G(j)
= G(j-1)
-------------------------------------------------

Zu deinem Vorgehen:

1) sum(q^k,k=0..n) nach q abgeleitet ergibt sicher nicht
sum(k*q^k,k=0..n), sondern sum(k*q^k,k=1..n-1)
Dieser Fehler sticht jedoch nicht so ins Auge, da bei

2) n->oo geht, somit auch (n-1)->n
Hier argumentierst du nicht sonderlich sauber, aber m.E.
richtig und kommst damit schließlich zu:
sum(k*q^(k-1),k=1..inf) = 1/(q-1)^2

3) q * sum(k*q^(k-1),k=1..inf) = q/(q-1)^2
<=> sum(k*q^k,k=1..inf) = q/(q-1)^2,
da die linke Seite ja bewiesenermaßen konvergiert.

4) ist dann natürlich auch zulässig, da 0 < |1/2| < 1 und
somit alle Voraussetzungen erfüllt sind.

Ja, das ginge auch so, ich sehe hier keinen Fehler.
Eine gute Alternative von dir, die uns nebenbei den
Wert für sum(k*q^k,k=1..inf) für beliebige q, die die Bedingung
0 < |q| < 1 liefert.


Gruß,
X.
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Xell (vredolf)
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Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: vredolf

Nummer des Beitrags: 63
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 25. Mai, 2002 - 13:23:   Beitrag drucken

Letzter Satz:
Eine gute Alternative von dir, die uns nebenbei den
Wert für sum(k*q^k,k=1..inf) für beliebige q liefert,
die die Bedingung 0 < |q| < 1 erfüllen.
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Jodokus
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 26. Mai, 2002 - 14:07:   Beitrag drucken

Hi Xell,


du schriebst

1) sum(q^k,k=0..n) nach q abgeleitet ergibt sicher nicht
sum(k*q^k,k=0..n), sondern sum(k*q^k,k=1..n-1)


Das kann ich nicht nachvollziehen, denn die Ableitung von (qn+1-1)/(q-1) auf der rechten Seite ist doch (hoffentlich) gleich
[(n+1)qn*(q-1)-(qn+1-1)*1]/(q-1)² oder auch qn [nq -n -1]/(q-1)² + 1/(q-1)²

und dies würde nicht mit der linken Seite übereinstimmen, wenn dort nicht
Sk=0n k*qk-1, sondern, wie du meinst,
Sk=1n-1 k*qk-1 stünde, denn die Gleichung

Sk=1n-1 k*qk-1 = [(n+1)qn*(q-1)-(qn+1-1)*1]/(q-1)²
ist eine falsche Aussage:


setze zum Beispiel ein: n=3 und q=2:
Sk=13-1 k*2k-1 = [(3+1)23*(2-1)-(23+1-1)*1]/(2-1)²
Sk=12 k*2k-1 = [4*8*1-(24-1)]/1²
1*21-1 + 2*22-1 = 32-(15)
1*1 + 2*2 = 32-(15) | falsch


Dass mit meiner Version Sk=0n k*qk-1 (später=Sk=1n k*qk-1) als Ableitung von Sk=0n qk das richtige herauskommt, kann ich leider nicht (anders/besser) beweisen, aber ich kann keinen Fehler beim Ableiten erkennen.


Gruß, Jodokus
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Jodokus
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Sonntag, den 26. Mai, 2002 - 14:23:   Beitrag drucken

Jedenfalls vielen Dank für die deutliche Ausführung des Lösungsweges.
Ich habe deinen Weg nun komplett verstanden.

Dank der von dir eingeführten Methode, die Reihe aufzuteilen, ist mir zu meiner ursprünglichen Fragestellung inzwischen ein verblüffend einfacher Lösungsweg aufgefallen:

Gehe ganz einfach aus von der Identität

Sn=1oo (2n-1)/2n = Sn=1oo (2n-1)/2n

und forme dann beide Seiten unterschiedlich um:


Sn=1oo 2n/2n - Sn=1oo 1/2n = 1/2 + 3/4 + 5/8 + 7/16 + 9/32 + ...

2Sn=1oo n/2n - 1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ... + 2/4 + 4/8 + 6/16 + 8/32 + ...

2Sn=1oo n/2n - 1 = (Sn=1oo 1/2n) + 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + ...

2Sn=1oo n/2n - 1 = 1 + Sn=1oo n/2n |+1-Sn=1oo n/2n


Sn=1oo n/2n = 2



und dann wie schon am 18. Mai, 2002 - 01:37 ausgeführt,

wiederum benutzen, dass
Sn=1oo (2n-1)/2n = Sn=1oo 2n/2n - Sn=1oo 1/2n

ist, wobei mit
Sn=1oo 2n/2n = 2Sn=1oo n/2n = 2*2
und Sn=1oo 1/2n = 1 sofort erkennbar wird, dass

Sn=1oo (2n-1)/2n = 4-1 = 3 ist.


Grüße, Jodokus

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