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maik (kiam)
Neues Mitglied
Benutzername: kiam
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Mai, 2002 - 11:46: | 
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hallo,
ich sitzte hier gerade vor meinem aufgabenblatt und komme irgentwie nicht richtig weiter. hoffe das in den weiten des zahlreichsboard ein heller kopf hockt und mir heute noch weiter helfen kann.
Bei der numerischen Lösung des Anfangswertproblems
y´´+2/x*y´+y=0; y(0)=1 y´(0)=0
taucht das Problem auf. den richtigen Wert für
y´´(0) bereitzustellen. Bestimme y´´(0). |
epsilon
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Mai, 2002 - 17:45: |
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Also in y" +2y'/x +y = 0 kann man 0 nicht unmittelbar einsetzen, aber weil y" auch bei 0 existieren soll (davon gehe ich mal aus), kann man den limes gegen 0 berechnen und erhält:
y"(0) + lim (-2y'/x) + y(0) = 0
Dabei ist: lim (-2y'/x) = [L'Hospital, anwendbar, weil vom Typ 0/0] = lim(-2y"/1) = -2y"(0), also eingesetzt:
y"(0) + 2y"(0) +1 = 0 => y"(0) = -1/3
Gruß epsilon
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maik (kiam)
Neues Mitglied
Benutzername: kiam
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Mai, 2002 - 19:11: |
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danke epsilon,
aber ich verstehe irgendwie nur bahnhof! könntest du das vielleicht auch ein wenig ausführlicher erklären? wäre dir sehr sehr dankbar.
gruss maik |
epsilon
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Mai, 2002 - 20:24: |
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OK, also nehmen wir einfach mal an, statt Startpunkt x=0 wäre die Anfangsbedingung z.B.: x=1 und y(1) = -2 und y'(1) = 3
dann bekommt man y"(1), indem amn in die DGL einsetzt, also: y"(1) + 2y'(1)/1 + y(1) = 0, d.h. y"(1) +2*3 -2 = 0 und damit y"(1) = -4.
Im Prinzip kann man das selbe für die gegebenen Anfangsbedingungen (x=0, y(0)=1 und y'(0)=0) machen, aber jetzt ergibt sich das Problem:
y"(0) + 2*y'(0)/0 + y(0) = 0
hier müsste man einmal durch 0 dividieren!!
Abhilfe: Möglich wenn y"(0) definiert überhaupt ist. Denn dann muss natürlich y' und y stetig sein an der Stelle x=0 (sonst gäbe es dort nicht die nächst-höhere Ableitung y"!)
Damit ist auch die Summe/Quotient der Funktionen y, y' und x: 2*y'/x + y stetig in x=0 (ich nehme an, dass habt ihr irgendwo bereits bewiesen, entweder bei Grenzwertsätzen oder bei Sätzen über Stetigkeit).
Deshalb kann man den Wert für x=0 so berechnen, indem man den limes für x-->0 von diesem Ausdruck ermittelt.
Diese Berechnung lieferte Dir der Beitrag weiter oben.
ich hoffe, damit ist Dir geholfen,
Gruß epsilon
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