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Andre
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Mai, 2002 - 12:48: |
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gesucht ist das Anfangswerteproblem y ( 0 ) = 0.2 y' + x^2 * y' = x - 4*X*y^2 vielen Dank Andre |
exd
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Mai, 2002 - 14:16: |
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Du meinst mit X auch x? Ansonsten kann alles nachfolgende falsch sein: Löse z.B. durch Trennung der Variablen: y' + x^2 * y' = x - 4xy^2 (1+x²)dy/dx = x(1-4y²) | *dx /(1+x²) /(1-4y²) dy/(1-4y²) = xdx/(1+x²) eine Stammfunktion von 1/(1-4y²) erhalte durch Partialbruchzerlegung und anschließende Integration: 1/(1-4y²) = A/(1-2y) + B/(1+2y) Koeff.-vgl.: A=½, B=½ also 1/(1-4y²) = 1/(2-4y) + 1/(2+4y) und damit ò dy/(1-4y²) = -¼ln|2-4y| + ¼ln|2+4y| = ln([(2+4y)/(2-4y)]¼) eine Stammfunktion von x/(1+x²) ist ½ln|1+x²|. aus dy/(1-4y²) = xdx/(1+x²) folgt also: ln([(2+4y)/(2-4y)]¼) = ½ln|1+x²| + ln(c) [(2+4y)/(2-4y)]¼ = (1+x²)½ *c nach y umstellen ergibt schließlich: y = (c4(1+x²)²-1)/(2c4(1+x²)²+2) Überprüfen der Lösung z.B. in Maple mit y:=(c^4*(1+x^2)^2-1)/(2*c^4*(1+x^2)^2+2);normal( diff(y,x) + x^2 * diff(y,x) = x - 4*x*y^2 ); - es ergibt sich auf beiden Seiten dasselbe - AWP: y(0)=0.2 => 0.2 = (c4(1+0²)²-1)/(2c4(1+0²)²+2) 0.2 = (c4*1-1)/(2c4*1+2) 0.2 = ½(c4-1)/(c4+1) | *2 0.4 = (c4-1)/(c4+1) |*(c4+1) 0.4(c4+1) = c4-1 0.4c4- c4 = -1-0.4 -0.6c4 = -1.6 c4 = 8/3 c=4Ö(8/3) boin mir bei dieser letzten Lösung nicht mehr sicher (evtl. 7/3 statt 8/3 ? ) - keine Zeit mehr dies überprüfen, muss weg..
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Andre
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. Mai, 2002 - 15:37: |
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vielen Dank und x und X sind gleich |
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