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Aufgaben zur Gaußklammer (Integrale)...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Analysis » Sonstiges » Aufgaben zur Gaußklammer (Integrale) « Zurück Vor »

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Barbara (laikalou)
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Benutzername: laikalou

Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Mai, 2002 - 11:01:   Beitrag drucken

Also: n Element N

a) ò0 1 [n*x]/n dx

b) ò0 1 [nx²]/n dx

würd mich über ein Vorrechnen dieser Aufgabe freuen, da ich nciht so richtig mit der Gaußklammer umzugehen weiß.
vielen Dank
Barbara
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orion (orion)
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Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 206
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Mai, 2002 - 14:50:   Beitrag drucken

Laikalou :

Teil a) will ich dir vorführen, versuche dann b)
zunächst mal selbst.
Das fragliche Integral sei mit J(n) bezeichnet.
Zunächst kann es nicht schaden, wenn man sich mit Spezialfällen befasst, das gibt oft einen Hinweis auf den allgemeinen Fall. Offenbar ist J(1) = 0,
denn [x] = 0 für 0=<x<1. Weiter sei n=2.
Dann ist [2x] = 0 für 0 =< x < 1/2 und [2x]=1 für
1/2 =<x < 1. Also zerlegen wir J(2) in 2 Integrale über [0 , 1/2[ und [1/2 , 1[, das gibt
ersichtlich

J(2) = (1/2)*(0 + 1/2) = 1/4.

Aha, jetzt ist klar, wie es allgemein geht:

J(n)

= (1/n)*sum[i=0...n-1]int[i/n,...,(i+1)/n] [nx]dx.

Im i-ten Intervall gilt offenbar

i <=> [nx] = i , 0 =< i <= n-1,

daher ist (arithmetische Reihe !)

J(n) = (1/n)*sum[i=0...n-1]i = (n-1)/2n.

mfg

Orion



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Barbara (laikalou)
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Benutzername: laikalou

Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Mai, 2002 - 19:15:   Beitrag drucken

, ich schnall voll, den Schritt nicht:
J(2) = (1/2)*(0 + 1/2) = 1/4.
(und deshalb den danach auch nicht....)

fühl mich immer blöder!
Barbara
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Barbara (laikalou)
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Junior Mitglied
Benutzername: laikalou

Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Mai, 2002 - 19:31:   Beitrag drucken

aber schon mal versucht:
(beim 2.)
J(1)=0 für 0<=x<1
J(2)=0 für 0<=x<wurzel 1/2 (oder?)
und =1 für wurzel 1/2 <=x < 1 (oder?)

dann wäre J(2)=wurzel 1/2 (0+ wurzel 1/2)=1/2
kann das sein?
Barbara
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BÄN (narv)
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Benutzername: narv

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Mai, 2002 - 21:31:   Beitrag drucken

Das sieht ja Haarscharf nach Mathe in Bo aus.
Ich quäle mich auch gerade damit rum!!!

Also gesucht ist :
Int[f(x)]dx mit f(x)= [nx]/n

Nun ist aber f(x) Element von T[0,1] (Treppenabbildungen im Instervall 0 bis 1).
Das heisst es gibt also eine Zerlegung von [0,1]
wie folgt:

0=x0<x1<...<x(n-1)<xn=1 für die gilt , dass
f(x)|]x(k-1),xk[=ck=const.

es gilt für Treppenfunktionen ( Forster s 125/126)

Int[f(x)]dx= Sum[k=1 - n](ck*(xk-x(k-1)))

man überlege sich nun noch, wie ck aussieht und wie die xk aussehen.

ck ist ja der Funktionswert der jeweiligen Treppenstufe. Also ck = k-1/n .

xk ist der k-te Schritt also k/n.
Somit folgt:

Int[...]dx=Sum[...]((k-1/n)*(k/n-(k-1)/n))

Umformen : n aus der Summe rausziehen !

=> Int[..]=1/n²*Sum[...](k-1)

sum[k=1,n](k)= n(n+1)/2

einsetzen für sum[..](k-1)

=>

Int[...]=(n-1)/2n wie schon von orion beschrieben.

Ich hoffe Du hast ein paar Parallelen zur Vorlesung gefunden, ansonsten im Forster nachschauen.

MFG BÄN}}
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BÄN (narv)
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Benutzername: narv

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Mai, 2002 - 21:44:   Beitrag drucken

zu B)

genauso anfangen!!!

f(x) ist Treppenfunktion, mit Zerlegung

0=x1<...<x(n-1)<xn=1

Nur finden die Sprünge bei x= Wurzel(k/n) statt, wegen [nx²].

ck bleibt aber gleich.

und es müsste dann

Int[...]= (1/n*wurzel(n))*Sum[...]((k-1)(wurzel(k)-wurzel(k-1)) rauskommen.

Sum[...]((k-1)(wurzel(k)-wurzel(k-1)) kann man "vereinfachen":

=}(n-1)wurzel(n)-sum[k=1,n-1](wurzel(k))

weiterv weiss ich auch nich, aber ich hoffe es ist schon mal gut.



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orion (orion)
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Nummer des Beitrags: 207
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Mai, 2002 - 21:47:   Beitrag drucken

Barbara :

Die Funktion x -> [nx^2] ist eine Treppenfunktion, es gilt nämlich für i=0,...,n-1:

sqrt(i/n) =<x> i =< nx^2 < i+1

<==> [ nx^2 ] = i. Daher

J(n)=

(1/n)*sum[i=0...n-1]

int[sqrt(i/n)...sqrt((i+1)/n)]i dx

= (1/n)sum[i=0...n-1]i*{sqrt((i+1)/n)-sqrt(i/n)}

= n^(-3/2)*sum[i=0...n-1]{sqrt(i+1) - sqrt(i)}.

Die Summe könnte man noch schreiben als

n^(3/2) - sum[i=1...n]sqrt(i)

was man leicht durch Induktion bestätigt. Einen
"geschlossenen" Ausdruck hierfür gibt es nicht.
Bemerkung zu deinem Beitrag:Die Formulierung
"J(1)=0 für 0=<x<1" etc. ist unsinnig.

mfg


Orion



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orion (orion)
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Nummer des Beitrags: 208
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Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Mai, 2002 - 21:56:   Beitrag drucken

Sorry, aber für die Verstümmelungen in meiner
Nachricht kann ich nichts ! Lies

sqrt(i/n)=<x<sqrt((i+1)/n)

<==> i =< nx^2 < i+1

<==> [ nx^2 ] = i

Orion
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Barbara (laikalou)
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Benutzername: laikalou

Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Montag, den 13. Mai, 2002 - 17:16:   Beitrag drucken

Hi!
Danke für die tolle Hilfe...sorry, wenn ich den Eindruck mache, so gar nix zu kapieren..manchmal hab ich ein Brett vorm Kopf und weiß einfach nciht, wo ihr was eingesetzt habt. Aber ich lass mir das alles jetzt genau durch den Kopf gehen und dann wird das schon klappen und ich erde es vorraussichtlich auch verstehen!
Also vielen, vielen Danke, es werden im Laufe der Zeit, sicher ncoh mehr Aufgaben kommen, vielleciht manchmal auch nur zur Kontrolle oder abcheken, dass ich den richtigen Ansatz habe!
Also freut euch..*lächel*...

Viele liebe Grüße
Barbara

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