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M.M. (iceman79)
Neues Mitglied
Benutzername: iceman79
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Mai, 2002 - 12:43: | 
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Für ein n e (Element) N sei Rn (Index n) die Menge der ganzen Zahlen (0, 1, ...., n-1). Es gilt (dies braucht nicht bewiesen werden): Für jedes x e Z existieren eindeutig bestimmte Zahlen q(x) e Z und µ(x) e Rn mit x = n q(x) + µ(x). Zeige:
1)Es existiert eine eindeutig bestimmte Verknüpfung Rn Kreuz Rn --+-> Rn auf Rn, so daß für x, y e Z stets µ(x+y)= µ(x) + µ(y) gilt.
2)Rn ist mit dieser Verknüpfung eine abelsche Gruppe.
Danke. |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1031
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Mai, 2002 - 19:01: |
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Ne, iceman, da kann was nicht stimmen! Korrigier die Aufgabenstellung bitte noch einmal. |
M.M. (iceman79)
Junior Mitglied
Benutzername: iceman79
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Mai, 2002 - 19:45: |
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Was soll nicht stimmen?
Steht genauso da. |
M.M. (iceman79)
Junior Mitglied
Benutzername: iceman79
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Mai, 2002 - 19:57: |
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Nochmal:
Für ein n element N sei Rn(index n) die Menge der ganzen Zahlen (0,1,...,n-1). Es gilt (braucht nicht bewiesen werden): Für jedes x element Z existieren eindeutig bestimmte Zahlen
q(x) element Z und µ(x) element Rn mit
x= n q(x)+ µ(y). Zeige:
1) es existiert eine eindeutig bestimmte Verknüpfung Rn kreuz Rn -(+)-> Rn auf Rn, so daß für x,y element Z stets µ(x+y) = µ(x) + µ(y)gilt
2) Rn ist mit dieser Verknüpfung ein abelsche Gruppe. |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1033
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Mai, 2002 - 20:10: |
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Mehr Sinn würde bei a machen:
µ(x + y) = µ(µ(x) + µ(y))
oder auch
x + y = µ(µ(x) + µ(y))
oder auch
x + y = µ(x + y)
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M.M. (iceman79)
Mitglied
Benutzername: iceman79
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Mai, 2002 - 20:14: |
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Hier steht µ(x+y) = µ(x) + µ(y) !!!
Hat es vielleicht mit x,y element Z zu tun? |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1034
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Mai, 2002 - 20:31: |
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Sorry, bin jetzt etwas confused wg. der ganzen +-Zeichen.
Bezeichne jetzt das neue Verknüpfungszeichen mit "#" und mit "+" das normale + auf Z.
Für alle x, y e Z: µ(x + y)= µ(x) # µ(y)
Ist das korrekt so? |
M.M. (iceman79)
Mitglied
Benutzername: iceman79
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Mai, 2002 - 20:48: |
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Bei mir steht zweimal + wie gesagt. Da es aber keinen Sinn macht muss das zweite + die Verknüpfung sein, oder? Also ja. |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1036
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Mai, 2002 - 22:07: |
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Also, denn, ist wirklich eklig ;-)
1) Es existiert eine eindeutig bestimmte Verknüpfung #: Rn x Rn -> Rn, sodass für x,y e Z: µ(x + y) = µ(x) # µ(y).
1. Existenz:
Für a,b e Rn definiere a # b := µ(a + b).
Seien nun x,y e Z. Zeige µ(x + y) = µ(x) # µ(y).
Nach Definition von # ist zu zeigen
(*) µ(x + y) = µ(µ(x) + µ(y))
Nach dem, was du verwenden darfst, ist
(1) x + y = n * q(x + y) + µ(x + y)
(2) x = n * q(x) + µ(x)
(3) y = n * q(y) + µ(y)
(4) µ(x) + µ(y) = n * q(µ(x) + µ(y)) + µ(µ(x) + µ(y))
(2) und (3) in (1) eingesetzt:
(5) n * q(x) + µ(x) + n * q(y) + µ(y) = n * q(x + y) + µ(x + y)
bzw.
(6) µ(x) + µ(y) = n * [q(x + y) - q(x) - q(y)] + µ(x + y)
Aus (4) und (6) nun
(7) n * q(µ(x) + µ(y)) + µ(µ(x) + µ(y)) = n * [q(x + y) - q(x) - q(y)] + µ(x + y)
bzw.
(8) µ(µ(x) + µ(y)) = n * [q(x + y) - q(x) - q(y) - q(µ(x) + µ(y))] + µ(x + y)
bzw.
(9) A = n * C + B
mit
A := µ(µ(x) + µ(y))
B := µ(x + y)
C := q(x + y) - q(x) - q(y) - q(µ(x) + µ(y))
Es ist C = 0, denn:
Nach Def. von µ sind 0 <= A,B < n.
1. Wäre C >= 1, dann A = n * C + B >= n + B >= n. Widerspruch zu A < n.
2. Wäre C <=>= n.
Also aus (9)
A = B, bzw. (*) q. e. d.
Geht das auch eleganter??
2. Eindeutigkeit ... tut mir leid, keine Lust mehr. |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1037
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 06. Mai, 2002 - 22:08: |
|
Also, denn, ist wirklich eklig ;-)
1) Es existiert eine eindeutig bestimmte Verknüpfung #: Rn x Rn -> Rn, sodass für x,y e Z: µ(x + y) = µ(x) # µ(y).
1. Existenz:
Für a,b e Rn definiere a # b := µ(a + b).
Seien nun x,y e Z. Zeige µ(x + y) = µ(x) # µ(y).
Nach Definition von # ist zu zeigen
(*) µ(x + y) = µ(µ(x) + µ(y))
Nach dem, was du verwenden darfst, ist
(1) x + y = n * q(x + y) + µ(x + y)
(2) x = n * q(x) + µ(x)
(3) y = n * q(y) + µ(y)
(4) µ(x) + µ(y) = n * q(µ(x) + µ(y)) + µ(µ(x) + µ(y))
(2) und (3) in (1) eingesetzt:
(5) n * q(x) + µ(x) + n * q(y) + µ(y) = n * q(x + y) + µ(x + y)
bzw.
(6) µ(x) + µ(y) = n * [q(x + y) - q(x) - q(y)] + µ(x + y)
Aus (4) und (6) nun
(7) n * q(µ(x) + µ(y)) + µ(µ(x) + µ(y)) = n * [q(x + y) - q(x) - q(y)] + µ(x + y)
bzw.
(8) µ(µ(x) + µ(y)) = n * [q(x + y) - q(x) - q(y) - q(µ(x) + µ(y))] + µ(x + y)
bzw.
(9) A = n * C + B
mit
A := µ(µ(x) + µ(y))
B := µ(x + y)
C := q(x + y) - q(x) - q(y) - q(µ(x) + µ(y))
Es ist C = 0, denn:
Nach Def. von µ sind 0 <= A,B < n.
1. Wäre C >= 1, dann A = n * C + B >= n + B >= n. Widerspruch zu A < n.
2. Wäre C <= -1, dann A = n * C + B <= -n + B < 0. Widerspruch zu A >= n.
Also aus (9)
A = B, bzw. (*) q. e. d.
Geht das auch eleganter??
2. Eindeutigkeit ... tut mir leid, keine Lust mehr. |
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