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M.M. (iceman79)
Neues Mitglied Benutzername: iceman79
Nummer des Beitrags: 5 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 06. Mai, 2002 - 12:43: |
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Für ein n e (Element) N sei Rn (Index n) die Menge der ganzen Zahlen (0, 1, ...., n-1). Es gilt (dies braucht nicht bewiesen werden): Für jedes x e Z existieren eindeutig bestimmte Zahlen q(x) e Z und µ(x) e Rn mit x = n q(x) + µ(x). Zeige: 1)Es existiert eine eindeutig bestimmte Verknüpfung Rn Kreuz Rn --+-> Rn auf Rn, so daß für x, y e Z stets µ(x+y)= µ(x) + µ(y) gilt. 2)Rn ist mit dieser Verknüpfung eine abelsche Gruppe. Danke. |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1031 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Montag, den 06. Mai, 2002 - 19:01: |
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Ne, iceman, da kann was nicht stimmen! Korrigier die Aufgabenstellung bitte noch einmal. |
M.M. (iceman79)
Junior Mitglied Benutzername: iceman79
Nummer des Beitrags: 7 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 06. Mai, 2002 - 19:45: |
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Was soll nicht stimmen? Steht genauso da. |
M.M. (iceman79)
Junior Mitglied Benutzername: iceman79
Nummer des Beitrags: 8 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 06. Mai, 2002 - 19:57: |
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Nochmal: Für ein n element N sei Rn(index n) die Menge der ganzen Zahlen (0,1,...,n-1). Es gilt (braucht nicht bewiesen werden): Für jedes x element Z existieren eindeutig bestimmte Zahlen q(x) element Z und µ(x) element Rn mit x= n q(x)+ µ(y). Zeige: 1) es existiert eine eindeutig bestimmte Verknüpfung Rn kreuz Rn -(+)-> Rn auf Rn, so daß für x,y element Z stets µ(x+y) = µ(x) + µ(y)gilt 2) Rn ist mit dieser Verknüpfung ein abelsche Gruppe. |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1033 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Montag, den 06. Mai, 2002 - 20:10: |
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Mehr Sinn würde bei a machen: µ(x + y) = µ(µ(x) + µ(y)) oder auch x + y = µ(µ(x) + µ(y)) oder auch x + y = µ(x + y)
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M.M. (iceman79)
Mitglied Benutzername: iceman79
Nummer des Beitrags: 11 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 06. Mai, 2002 - 20:14: |
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Hier steht µ(x+y) = µ(x) + µ(y) !!! Hat es vielleicht mit x,y element Z zu tun? |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1034 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Montag, den 06. Mai, 2002 - 20:31: |
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Sorry, bin jetzt etwas confused wg. der ganzen +-Zeichen. Bezeichne jetzt das neue Verknüpfungszeichen mit "#" und mit "+" das normale + auf Z. Für alle x, y e Z: µ(x + y)= µ(x) # µ(y) Ist das korrekt so? |
M.M. (iceman79)
Mitglied Benutzername: iceman79
Nummer des Beitrags: 14 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 06. Mai, 2002 - 20:48: |
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Bei mir steht zweimal + wie gesagt. Da es aber keinen Sinn macht muss das zweite + die Verknüpfung sein, oder? Also ja. |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1036 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Montag, den 06. Mai, 2002 - 22:07: |
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Also, denn, ist wirklich eklig ;-) 1) Es existiert eine eindeutig bestimmte Verknüpfung #: Rn x Rn -> Rn, sodass für x,y e Z: µ(x + y) = µ(x) # µ(y). 1. Existenz: Für a,b e Rn definiere a # b := µ(a + b). Seien nun x,y e Z. Zeige µ(x + y) = µ(x) # µ(y). Nach Definition von # ist zu zeigen (*) µ(x + y) = µ(µ(x) + µ(y)) Nach dem, was du verwenden darfst, ist (1) x + y = n * q(x + y) + µ(x + y) (2) x = n * q(x) + µ(x) (3) y = n * q(y) + µ(y) (4) µ(x) + µ(y) = n * q(µ(x) + µ(y)) + µ(µ(x) + µ(y)) (2) und (3) in (1) eingesetzt: (5) n * q(x) + µ(x) + n * q(y) + µ(y) = n * q(x + y) + µ(x + y) bzw. (6) µ(x) + µ(y) = n * [q(x + y) - q(x) - q(y)] + µ(x + y) Aus (4) und (6) nun (7) n * q(µ(x) + µ(y)) + µ(µ(x) + µ(y)) = n * [q(x + y) - q(x) - q(y)] + µ(x + y) bzw. (8) µ(µ(x) + µ(y)) = n * [q(x + y) - q(x) - q(y) - q(µ(x) + µ(y))] + µ(x + y) bzw. (9) A = n * C + B mit A := µ(µ(x) + µ(y)) B := µ(x + y) C := q(x + y) - q(x) - q(y) - q(µ(x) + µ(y)) Es ist C = 0, denn: Nach Def. von µ sind 0 <= A,B < n. 1. Wäre C >= 1, dann A = n * C + B >= n + B >= n. Widerspruch zu A < n. 2. Wäre C <=>= n. Also aus (9) A = B, bzw. (*) q. e. d. Geht das auch eleganter?? 2. Eindeutigkeit ... tut mir leid, keine Lust mehr. |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1037 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Montag, den 06. Mai, 2002 - 22:08: |
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Also, denn, ist wirklich eklig ;-) 1) Es existiert eine eindeutig bestimmte Verknüpfung #: Rn x Rn -> Rn, sodass für x,y e Z: µ(x + y) = µ(x) # µ(y). 1. Existenz: Für a,b e Rn definiere a # b := µ(a + b). Seien nun x,y e Z. Zeige µ(x + y) = µ(x) # µ(y). Nach Definition von # ist zu zeigen (*) µ(x + y) = µ(µ(x) + µ(y)) Nach dem, was du verwenden darfst, ist (1) x + y = n * q(x + y) + µ(x + y) (2) x = n * q(x) + µ(x) (3) y = n * q(y) + µ(y) (4) µ(x) + µ(y) = n * q(µ(x) + µ(y)) + µ(µ(x) + µ(y)) (2) und (3) in (1) eingesetzt: (5) n * q(x) + µ(x) + n * q(y) + µ(y) = n * q(x + y) + µ(x + y) bzw. (6) µ(x) + µ(y) = n * [q(x + y) - q(x) - q(y)] + µ(x + y) Aus (4) und (6) nun (7) n * q(µ(x) + µ(y)) + µ(µ(x) + µ(y)) = n * [q(x + y) - q(x) - q(y)] + µ(x + y) bzw. (8) µ(µ(x) + µ(y)) = n * [q(x + y) - q(x) - q(y) - q(µ(x) + µ(y))] + µ(x + y) bzw. (9) A = n * C + B mit A := µ(µ(x) + µ(y)) B := µ(x + y) C := q(x + y) - q(x) - q(y) - q(µ(x) + µ(y)) Es ist C = 0, denn: Nach Def. von µ sind 0 <= A,B < n. 1. Wäre C >= 1, dann A = n * C + B >= n + B >= n. Widerspruch zu A < n. 2. Wäre C <= -1, dann A = n * C + B <= -n + B < 0. Widerspruch zu A >= n. Also aus (9) A = B, bzw. (*) q. e. d. Geht das auch eleganter?? 2. Eindeutigkeit ... tut mir leid, keine Lust mehr. |
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