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Beitrag |
    
Jaques
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. Mai, 2002 - 17:39: | 
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Hallo! Wer von Euch kann mir bei folgenden Integralen helfen (insbesondere mit einer detaillierten Erklärung :-) )
ò 1/(1+x3) dx und
ò 1/(x2+2bx+c) dx
Vielen Dank für Eure Hilfe
Jaques |
Schuster (s_oeht)
Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 25
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Mai, 2002 - 20:16: |
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1/(1+x^3=A/(x+1)+(Bx+C)/(x^2-x+1)
1·A + 0·B + 1·C = 1
1·A + 2·B + 2·C = 1
3·A + 6·B + 3·C = 1
A=1/3
B=-1/3
C=2/3
integration des ersten summanden liefert:
1/3*int(1/(x+1))dx=1/3*ln(x+1)+C1
zweiter summand:
(Bx+C)/(x^2-x+1)=-1/3(x-2)/(x^2-x+1)
=[-1/6(2x-1)+0,5]/(x^2-x+1)
=-1/6(2x-1)/(x^2-x+1)+0,5/(x^2-x+1)
-1/6*int((2x-1)/(x^2-x+1))=-1/6*ln(x^2-x+1)+C2
0,5/(x^2-x+1)=0,5/[(x-0,5)^2+0,75)
=2/3*1/[{(x-0,5)/sqrt(0,75)}^2+1)
2/3*int(1/[{(x-0,5)/sqrt(0,75)}^2+1))dx
z=(x-0,5)/sqrt(0,75)
dz/dx=1/sqrt(0,75)
2/3*sqrt(0,75)*int(1/(z^2+1))dx
=1/3*sqrt(3)*arctan((x-0,5)/sqrt(0,75))+C3
=1/3*sqrt(3)*arctan(1/3*sqrt(3)*(2x-1))C3
und somit:
int(1/(1+x^3))dx=1/3*ln(x+1)-1/6*ln(x^2-x+1)+1/3*sqrt(3)*arctan(1/3*sqrt(3)*(2*x-1))+C
C=C1+C2+C3
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Schuster (s_oeht)
Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 26
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Mai, 2002 - 21:07: |
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1/(x2+2bx+c)
für c>b^2 gilt:
=1/(c-b^2)*1/[{(x+b)/(sqrt(c-b^2)}^2+1]
1/(c-b^2)*int(1/[{(x+b)/(sqrt(c-b^2)}^2+1])dx
z=(x+b)/(sqrt(c-b^2)
dz/dy=1/(sqrt(c-b^2)
1/sqrt(c-b^2)*int(1/(z^2+1)dz
=1/sqrt(c-b^2)*artanh(z)+C
=1/sqrt(c-b^2)*arctan[(x+b)/(sqrt(c-b^2)]+C
für c<b^2 gilt:
-1/(b^2-c)*int(1/[{(x+b)/(sqrt(b^2-c)}^2+1])dx
=-1/sqrt(b^2-c)*artanh[(x+b)/(sqrt(b^2-c)]+C
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Schuster (s_oeht)
Mitglied
Benutzername: s_oeht
Nummer des Beitrags: 30
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Mai, 2002 - 23:58: |
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hir nochmal ohne tippfehler:
1/(x2+2bx+c)
für c>b^2 gilt:
=1/(c-b^2)*1/[{(x+b)/(sqrt(c-b^2)}^2+1]
1/(c-b^2)*int(1/[{(x+b)/(sqrt(c-b^2)}^2+1])dx
z=(x+b)/(sqrt(c-b^2)
dz/dy=1/(sqrt(c-b^2)
1/sqrt(c-b^2)*int(1/(z^2+1)dz
=1/sqrt(c-b^2)*artan(z)+C
=1/sqrt(c-b^2)*arctan[(x+b)/(sqrt(c-b^2)]+C
für c<b^2 gilt:
-1/(b^2-c)*int(1/[{-(x+b)/(sqrt(b^2-c)}^2+1])dx
=-1/sqrt(b^2-c)*artanh[(x+b)/(sqrt(b^2-c)]+C
MfG Theo
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