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Beitrag |
    
Jeannine
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. Mai, 2002 - 17:28: | 
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Ax=0 sei ein hom Gleichungssystem von m Gleichungen und n Unbekannten.
Zeige, falls m< n, so hat H eine nicht triviale Lösung
Zeige : sind v1,....,vn Vektoren und ist m<n, so gibt es reele Zhalren a1,...,an, die nicht alle Null sind
a1v1+a2vs+....+anvn=0
Danke |
orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 197
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. Mai, 2002 - 18:33: |
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Jeannine :
Beweis durch Induktion bzgl.n.
Für n=1 ist die Aussage trivial (0 Gln. in 1 Variablen).
Ind-Ann.: Die Aussage gelte bei n-1 Variablen, für irgendein n >1.
A = (a_ik) sei eine (m,n)-Matrix mit m<n.
Fallunterrscheidung:
1. alle a_i1 = 0 ==> (1,0,...,0) ist eine nicht-
triviale Lösung.
2. Mindestens ein a_i1 <> 0, o.b.d.A. a_11 <> 0.
Subtrahiere das (a_i1/a_11)-fache der 1. Gl. von
der i-ten Gl., i=2,...,m. Das neue System ist
zum geg.System äquivalent. In der 2. bis. n-ten
Gl. kommt x_1 nicht mehr vor, dieses Teilsystem
hat nach Ind.Ann. wegen m-1 < n-1 eine nicht-triviale Lösung x_2,...,x_n. Füge
x_1 = - (1/a_11)*(a_12 x_2 + ... + a_1n x_n)
hinzu.
Die 2. Aussage beinhaltet nchts anderes als die
swoeben bewiesene 1. Aussage : Fasse v_1,...,v_n
als Spalten einer (m,n)-Matrix auf.
mfg
Orion
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