| Autor |
Beitrag |
    
David (Pseudemathekick)
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 00:19: | 
|
wie kann ich folgende Gleichung mit vollständiger Induktion beweisen, so daß die Anzahl der k-elementigen Teilmengen von {1,...,n} ist.
n über k = (n!) ÷ (k!(n-k)!) |
Peter
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. November, 2000 - 10:15: |
|
also ... der anfang ..
man neheme aus einer n - elementigen menge eins heraus .. man hat dafür n - möglichkeiten.
für das zweite hat man dann n-1 möglichkeiten .. usw bis man k elemente gezogen hat.
das sind also n!/(n-k!) .. da man aber die k - elmentige teilmenge k! verschieden anordnen kann und es hier um eine ungeordnete menge geht, ist der term noch durch k! zu teilen.
n!/((n-k)! * k!)
für den schritt nehemen für uns eine n+1 elementige menge vor, vobei wir für die n elementige menge gezeigt haben, dass die annahme stimmt.
so nun kann man die k - elementigen teilmengen so zusammen fassen, dass man sagt, ich nehem die teilmengen, die das n+1'te element nicht enthalten ( n über k ) und ich neheme die teilmengen, die das n+1'te element enthalte. diese menge kann man mit (n über (k-1)) beschreiben. diese mengen sind auf jedenfall disjunkt, so dass für die menge der k - elementigen teilmenge einer n+1 elementigen menge ergibt (n über k) + (n über k-1) = ((n+1) über k)
caoi |
yassi
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Mai, 2001 - 18:39: |
|
beh. n über k =n!/k!.(n-k)!
für n=1 1 über 1 =1!/1!.0! =1
für ein n, nüberk=n!/k!.(n-k)!
n+1 über k= [nüber(k-1)]+[nüberk]
=n!/(k-1)!(n-k+1)!+n!/k!.(n-k)!
=k.n!+(n-k+1).n!/k!(n-k+1)!
=(n+1)!/k!.(n+1-k)!
dann ist es für alle n E N richtig. |
|
