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Papst
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. November, 2000 - 16:01: | 
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Hallo!
Ich habe eine Aufgabe bekommen, bei der nicht ganz weiß wie ich das zeigen kann:
In F_2[X] ist f(X)=X^2+X+1 irreduzibel, und es gibt einen Körper mit 4 Elementen.
Gibt es auch einen Körper mit 8 bzw. 49 Elementen ?
Ich bin für jede Hilfe dankbar.
Papst |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. November, 2000 - 18:18: |
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Da f irreduzibel ist, ist (f) ein Primideal in F_2[x]. Also ist F_2[x]/(f) ein Körper. Dieser hat 4 Elemente.
Wenn p eine Primzahl und n > 0 eine natürliche Zahl ist, dann existiert ein Körper mit pn Elementen.
Betrachte nämlich ein irreduzibles Polynom f über F_p[x] vom Grade n und dann den Körper F_p[x]/(f).
Wenn dir das zu hoch ist, weil du die Begriffe noch nicht kennst, meld' dich noch mal... |
Papst
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. November, 2000 - 15:20: |
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Hallo Zaph,
naja, vielleicht könntest Du noch ein Paar Worte über den Begriff "Primideal" verlieren. Auch der Beweisansatz wäre sehr hilfreich...
Danke,
Papst |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. November, 2000 - 16:14: |
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Hallo Papst,
weißt du, was ein Ideal ist? Sagt dir die Schreibweise F_2[x]/(f) etwas? |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 10. November, 2000 - 16:17: |
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... ist dir die Aussage
a(x) = b(x) mod f(x)
für Polynome a, b, f geläufig? Kennst du den euklidischen Algorithmus für Polynome? |
Papst
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 13:26: |
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Hi Zaph,
die Schreibweise F_2[X]/(f) ist mir zumindest seit heute bekannt. Dennoch weiß ich immer noch nicht wie ich die obige Aussage beweisen soll.
Hilf mir bitte,
Papst |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Montag, den 13. November, 2000 - 17:39: |
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Hi Papst, dann weißt du ja, dass F_2[X]/(f) aus allen Polynomen mit Koeffizienten aus F_2 besteht, die einen kleineren Grad als Grad(f) besitzen.
Im Fall von f(x) = x² + x + 1 ist also
F_2[X]/(f) = {0,1,x,x+1}
Naja, eigentlich sind es die Restklassen der Polynome Modulo f, du müsstest also überall einen Strich drübermalen.
F_2[X]/(f) hat 4 Elemente, und allgemein gibt es pGrad(f) Elemente in F_p[X]/(f), denn für jeden Koeffizient gibt es p Möglichkeiten.
Die Addition ist einfach:
| + | 0 | 1 | x | x + 1 | | | 0 | 0 | 1 | x | x + 1 | | | 1 | 1 | 0 | x + 1 | x | | | x | x | x + 1 | 0 | 1 | | | x + 1 | x + 1 | x | 1 | 0 |
Beachte dabei, dass 1 + 1 = x + x = 0.
Bei der Multiplikation muss Modulo f gerechnet werden. Z. B.
(x+1)(x+1) = x² + x + x + 1 = (x² + x + 1) + x = x,
denn in F_2[X]/(f) ist f = 0.
| * | 0 | 1 | x | x + 1 | | | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | | | 1 | 0 | 1 | x | x + 1 | | | x | 0 | x | x + 1 | 1 | | | x + 1 | 0 | x + 1 | 1 | x |
Mit dieser Addition und Multiplikation ist F_2[X]/(f) automatisch ein kommutativer Ring mit Einselement (da "Modulo f" eine Kongruenzrelation ist). Dass in diesem Beispiel F_2[X]/(f) ein Körper ist, siehst du daran, dass in jeder Zeile und Spalte der Multiplikationstabelle (außer von der 0) eine 1 auftritt.
Allgemein ist F_p[X]/(f) genau dann ein Körper, wenn f über F_p irreduzibel ist.
Hoffe, das hilft schon mal weiter. |
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