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Beitrag |
    
Peter
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. April, 2002 - 15:39: | 
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Schätzen Sie den absoluten und den relativen Fehler ab bei der Massenbestimmung einer Pyramide mit quaratischer Grundfläche der Kantenlänge a = (12 +/- 0,5) cm
und der Höhe h = (9 +/- 0,2) cm
sowie der Dichte p = (700 +/- 15) kg/m³ .
Wie groß ist etwa die Masse der Pyramide ?
Um welches Material könnte es sich handeln? |
juergen
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. April, 2002 - 07:10: |
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Hallo Peter,
gefragt ist das Fehlerfortpflanzungsgesetz, was im Prinzip auf die Berchnung des totalen Differentials hinausläuft.
Schreibweise: (dy/dx) sei die PARTIELLE Ableitung der abhängigen Variablen y nach der unabhängige Grösse x, mit rho bezeichne ich die Dichte, deltax sei der absolute Fehler und deltax/x der relative Fehler einer Grösse x.
Du benötgst zunächst den Zusammenhang zwischen der Masse und den fehlerbehafteten Grössen. Masse ist einfach Dichte * Volumen, also für Deine Pyramide
M = (1/3)*rho*h*a^2
Der absolute Fehler deltaM von M ist dann das totale Differential von M, welches sich wie folgt berechnet
deltaM = (dm/drho)*deltarho + (dM/dh)*deltah + (dM/da)*deltaa
WICHTIG: von jedem der Summanden auf der rechten Seite ist der Betrag zu nehmen!
Für die einzelnen Ableitungen findet man:
dM/drho = (1/3)*h*a^2
dM/dh = (1/3)*rho*a^2
dM/da = (2/3)*rho*h*a
Damit ist der absolute Fehler (wieder achte auf die Beträge)
deltM = ((1/3)*h*a^2) * deltrho + ((1/3)*rho*a^2) * deltah + ((2/3)*rho*h*a) * deltaa
Wenn man jetzt noch beide Seiten des totalen Differentials durch die Masse dividiert und auf der rechten Seite M = (1/3)*rho*h*a^2 ausnutzt,
ergibt sich für den relativen Fehler
deltaM/M = deltarho/rho + deltah/h + 2*deltaa/a
Bei Deinem Zahlenbeispiel ist (immer plus-minus)
deltarho/rho = 0.021 = 2.1%
deltah/h = 0.022 = 2.2%
deltaa/a = 0.042 = 4.2%
der gesamte relative Fehler beträgt somit (plus-minus)
deltaM/M = 0.127 = 12.7%
Die Masse Deines Körpers beträgt
M = (1/3)*rho*h*a^2 = 0.3024 kg = 302.4 g
und somit ist der absolute Fehler von M
deltaM = 38.4 g (plus-minus)
Die Dichte des Stoffes ist kleiner als die von Wasser, es muss also ein Feststoff sein, der in Wasser schwimmt. Holz hat so eine Dichte (ich glaube Laubholz hat ziemlich genau 0.7 g/cm^3) oder bestimmte Kunststoffe. Dein Pyramidenbauer war vielleicht Holzschnitzer, der hoffentlich den Wald nicht zu stark in Mitleidenschaft gezogen hat.
Gruss
J. |
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