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STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. April, 2002 - 19:21: | 
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Hallo Leute,
irgendwie bin ich verwirrt. Bei uns wurde folgendes eingeführt ( in K=R oder C):
Sei V euklidischer VR mit dim(V)=n<unendl. und W Teilmenge V Unterraum mit ONB {w(1),...,w(m)}. Dann gibt es eine Ergänzung zu einer ONB von V. Soweit ist mir das schon noch klar.
Doch nun zum Beweis:
Falls W=V folgt fertig ( auch klar, da dann {w(1), ... , w(m)} ONB des V ist, da dim V=dim W.
Doch nun:
Sei W echte Teilmenge von V. Dann existiert ein v aus V\W ( Quotientenraum ? Wo finde ich Erklärungen dazu ( leicht verständliche, am besten mit Skizze )).
Dann kommt das Gram-Schmidt-Verfahren:
v´=Summe über ( Skalarprodukt (v,jeweils Basisvektor aus W)skalarmultipliziert mit dem gewählten Basisvektor.
-> Differenz v-v´ bilden
Ergebnis normieren. Fertig.
Nun ist die Aufgabe, zu beweisen, dass für eine Matrix A aus K^(m x n ) [mit n<m] n linear unabhängigen Spalten sich für die resultierende ONB bei Anwendung des GRAM-SCHMIDT PROZESSES ergibt ( wobei A= [ a1 a2 a3 a4 ... an], wobei aj jeweils die j-te Spalte der Matrix bezeichnet ):
q1= a1/Norm(a1)
qk={ak-(Summe von (i=1) bis k-1) über (ak, qi)*qi)}/(2Norm des Zählers)
(ak, qi) ist das Skalarprodukt der k-ten Spalte von A mit der i-ten Spalte der bis dahin bereits bekannten ONB.
Das steht aber doch genau im Gram-Schmidt Prozess, wenn man die Spalten als Basis des V auffasst, oder ?
Nun haben wir folgende Aufgaben dazu:
Gram-SchmidtProzess führen für
{(1,0,0), (1,1,0), (1,1,1)}
Als Lösung hab ich {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}. Ist diese eindeutig beim Gram-Schmidt-Prozess ?
Ich tippe mal nein, denn ich kann ja meinen ersten Vektor beliebig wählen, oder ?
Grüße
STEVENERKEL |
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. April, 2002 - 19:23: |
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Achja, Hauptanliegen war eigentlich eventuell gute Verweise für diesen Prozess ! Gibt es vielleicht irgendwo im I-Net einen guten Link, wo man solche Verfahren nachschlagen kann ?
Grüße
STEVENERKEL
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