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STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Sonntag, den 21. April, 2002 - 19:21: |
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Hallo Leute, irgendwie bin ich verwirrt. Bei uns wurde folgendes eingeführt ( in K=R oder C): Sei V euklidischer VR mit dim(V)=n<unendl. und W Teilmenge V Unterraum mit ONB {w(1),...,w(m)}. Dann gibt es eine Ergänzung zu einer ONB von V. Soweit ist mir das schon noch klar. Doch nun zum Beweis: Falls W=V folgt fertig ( auch klar, da dann {w(1), ... , w(m)} ONB des V ist, da dim V=dim W. Doch nun: Sei W echte Teilmenge von V. Dann existiert ein v aus V\W ( Quotientenraum ? Wo finde ich Erklärungen dazu ( leicht verständliche, am besten mit Skizze )). Dann kommt das Gram-Schmidt-Verfahren: v´=Summe über ( Skalarprodukt (v,jeweils Basisvektor aus W)skalarmultipliziert mit dem gewählten Basisvektor. -> Differenz v-v´ bilden Ergebnis normieren. Fertig. Nun ist die Aufgabe, zu beweisen, dass für eine Matrix A aus K^(m x n ) [mit n<m] n linear unabhängigen Spalten sich für die resultierende ONB bei Anwendung des GRAM-SCHMIDT PROZESSES ergibt ( wobei A= [ a1 a2 a3 a4 ... an], wobei aj jeweils die j-te Spalte der Matrix bezeichnet ): q1= a1/Norm(a1) qk={ak-(Summe von (i=1) bis k-1) über (ak, qi)*qi)}/(2Norm des Zählers) (ak, qi) ist das Skalarprodukt der k-ten Spalte von A mit der i-ten Spalte der bis dahin bereits bekannten ONB. Das steht aber doch genau im Gram-Schmidt Prozess, wenn man die Spalten als Basis des V auffasst, oder ? Nun haben wir folgende Aufgaben dazu: Gram-SchmidtProzess führen für {(1,0,0), (1,1,0), (1,1,1)} Als Lösung hab ich {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}. Ist diese eindeutig beim Gram-Schmidt-Prozess ? Ich tippe mal nein, denn ich kann ja meinen ersten Vektor beliebig wählen, oder ? Grüße STEVENERKEL |
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Sonntag, den 21. April, 2002 - 19:23: |
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Achja, Hauptanliegen war eigentlich eventuell gute Verweise für diesen Prozess ! Gibt es vielleicht irgendwo im I-Net einen guten Link, wo man solche Verfahren nachschlagen kann ? Grüße STEVENERKEL
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