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Wiebke
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 19. April, 2002 - 14:56:   Beitrag drucken

Hallo Ihrs,

könnt Ihr mir vielleicht bei folgender Aufgabe helfen?

E = Element

Es bezeichne L := {a+b (Wurzel 3) | a,b E Q }
Im folgenden darf benutzt werden, das (Wurzel 3) E R\Q

a.) Warum ist (Wurzel 3) E R\Q

Beweise:
b.) Es gilt Q c L c R
c.) Für x,y E L gilt x+y E L und xy E L
d.) Für x E L gilt -x E L und für x E L, x (ungleich) 0 gilt x^-1=1/x E L
e.) Begründe das L ein Körper ist


Danke Euch
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Sebastian
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Freitag, den 19. April, 2002 - 16:24:   Beitrag drucken

Hallo Wiebke, (LaTeX Notation jedoch ohne \)

a) Versteh ich nicht, es darf doch benutzt werden, daß $sqrt{3} in R setminus Q$, oder nicht?

b)
Beweis $Q subset L$:
$Q$ ist in $L$ enthalten, da $L':={a+0 sqrt{3} | a in Q} = Q$ ist, $L$ enthält jedoch mindestens ein Element mehr (Gegenbeispiel: $a=0$, $b=1$), so daß die "echte-Teilmengen"-Relation gilt.

Beweis $L subset R$: $ Q + R setminus Q = R$, daraus folgt, daß jedes $l in L$ auch $l in R$.

Zur echten Teilmenge: $R$ enthält mindestens ein Element, das sich nicht durch algebraische Zahlen darstellen läßt (Gegenbeispiel: $pi$).

c)
Sei $x:=a+b sqrt{3}$, $y:=c+d sqrt{3}$, dann ist (zumindest mit der herkömmlichen Addition):
$x+y = (a+b sqrt{3}) + (c+d sqrt{3}) = (a+c) + (b+d) sqrt{3}$. Der Ausdruck $(a+c)$ ist wieder rational, ebenso der Ausdruck $(b+d)$, so daß $x+y$ wieder in $L$ liegt.

Multiplikation analog.

d) Funktioniert wie bei c)

e) $(L,+)$ ist eine additive, abelsche Gruppe (da $(Q,+)$ ja Gruppe ist) und $(L setminus {0},*)$ ist ebenfalls Gruppe (da ja $(Q setminus {0},*)$ ...

Weiterhin gilt die Kompatibilität (Verträglichkeit) zwischen $+$ und $*$:

$forall x,y,z in L: x*(y+z) = x*y + x*z$
und
$forall x,y,z in L: (x+y)*z = x*z + y*z$

Mußt Du nur nachrechnen. Auf jeden Fall gilt dies alles, weil es in $Q$ gilt.

Gruß Sebastian

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