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Wiebke
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Freitag, den 19. April, 2002 - 14:56: |
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Hallo Ihrs, könnt Ihr mir vielleicht bei folgender Aufgabe helfen? E = Element Es bezeichne L := {a+b (Wurzel 3) | a,b E Q } Im folgenden darf benutzt werden, das (Wurzel 3) E R\Q a.) Warum ist (Wurzel 3) E R\Q Beweise: b.) Es gilt Q c L c R c.) Für x,y E L gilt x+y E L und xy E L d.) Für x E L gilt -x E L und für x E L, x (ungleich) 0 gilt x^-1=1/x E L e.) Begründe das L ein Körper ist Danke Euch |
Sebastian
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Freitag, den 19. April, 2002 - 16:24: |
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Hallo Wiebke, (LaTeX Notation jedoch ohne \) a) Versteh ich nicht, es darf doch benutzt werden, daß $sqrt{3} in R setminus Q$, oder nicht? b) Beweis $Q subset L$: $Q$ ist in $L$ enthalten, da $L':={a+0 sqrt{3} | a in Q} = Q$ ist, $L$ enthält jedoch mindestens ein Element mehr (Gegenbeispiel: $a=0$, $b=1$), so daß die "echte-Teilmengen"-Relation gilt. Beweis $L subset R$: $ Q + R setminus Q = R$, daraus folgt, daß jedes $l in L$ auch $l in R$. Zur echten Teilmenge: $R$ enthält mindestens ein Element, das sich nicht durch algebraische Zahlen darstellen läßt (Gegenbeispiel: $pi$). c) Sei $x:=a+b sqrt{3}$, $y:=c+d sqrt{3}$, dann ist (zumindest mit der herkömmlichen Addition): $x+y = (a+b sqrt{3}) + (c+d sqrt{3}) = (a+c) + (b+d) sqrt{3}$. Der Ausdruck $(a+c)$ ist wieder rational, ebenso der Ausdruck $(b+d)$, so daß $x+y$ wieder in $L$ liegt. Multiplikation analog. d) Funktioniert wie bei c) e) $(L,+)$ ist eine additive, abelsche Gruppe (da $(Q,+)$ ja Gruppe ist) und $(L setminus {0},*)$ ist ebenfalls Gruppe (da ja $(Q setminus {0},*)$ ... Weiterhin gilt die Kompatibilität (Verträglichkeit) zwischen $+$ und $*$: $forall x,y,z in L: x*(y+z) = x*y + x*z$ und $forall x,y,z in L: (x+y)*z = x*z + y*z$ Mußt Du nur nachrechnen. Auf jeden Fall gilt dies alles, weil es in $Q$ gilt. Gruß Sebastian
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