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Peti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. April, 2002 - 22:49: | 
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Suche Stammfunktionen von
(1-x^3)^-1/2
(x^3 -1)^-1/2
cos(x^2) |
Peter
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. April, 2002 - 22:54: |
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vermute, dass sich alle drei nicht explizit angeben lassen :-(
Peter |
Peti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. April, 2002 - 07:48: |
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kann mir denn jemand die uneigentlichen Integrale davon
Integral von 0 bis 1 von (1-x^3)^-1/2
Integral von 1 bis unendlich von (x^3-1)^-1/2
Integral von 0 bis unendlich von cos(x^2)
Integral von 0 bis unendlich von (logx)(sinx^2)
angeben???
Danke
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juergen
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. April, 2002 - 09:05: |
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Ich bezeichne die Gamma-Funktion mit G
Integral von 0 bis 1 von (1-x^3)^-1/2
= Sqrt(Pi)*G(4/3)/G(5/6)
Integral von 1 bis unendlich von (x^3-1)^-1/2
= Sqrt(Pi)*(2*G(7/6)/G(2/3) - i*G(4/3)/G(5/6))
Integral von 0 bis unendlich von cos(x^2)
= (1/2)*Sqrt(Pi/2)
Beim letzten, meinst Du (sinx)^2 oder sin(x^2)?
Gruss
J.
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Peti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. April, 2002 - 09:24: |
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Danke schonmal.Das letzte heißt sin(x^2) |
Peti
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. April, 2002 - 20:25: |
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was heißt denn Sqrt?
Gibts keine andere Möglichkeit als über die Gamma Funktion?
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juergen
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. April, 2002 - 08:13: |
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Sorry, Peti
Sqrt ist die Abkürzung für Square Root (Quadratwurzel), hat sich z.B. in verschiedenen Programmiersprachen als Abkürzung so eingebürgert.
Willst Du das Ergebnis in "geschlossener Form" darstellen, kommst Du um die Gamma-Funktion, die selbst über ein uneigentliches Integral definiert ist, nicht herum, so "einfach" die Integranden auch aussehen...
Gruss
J. |
Bob
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. April, 2002 - 09:22: |
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Hallo
Ich sitze an dem gleichen Problem wie Peti, komme jedoch nicht auf die Lösung.
Könntet ihr vielleicht etwas zum Rechenweg schreiben??
Wie komme ich z. B. auf Sqrt(Pi)*G(4/3)G(5/6) als Ergebnis des ersten Integrals.
Auch die Lösungen der anderen Integrale sind mir schleierhaft.
Wie gehe ich solche Aufgaben am besten an???
Bob |
orion (orion)
Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 30
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. April, 2002 - 11:00: |
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Hallo :
Nach Stammfunktionen zu suchen, ist
aussichtslos. Wie ich einem anderen Beitrag
entnommen habe, geht es ja auch nur
um die Frage : Konvergenz oder Divergenz.
Hier ein paar Hinweise (Vollständigkeit wird
nicht angestrebt):
1) Das Integral
J := int[0..1](1-x^3)^(-1/2)dx
ist "uneigentlich bei 1", es
kommt also auf das Verhalten des Integranden für x->1 an. Nun ist für 0<x<1:
x^3<x> (1-x^3)^(-1/2) < (1-x)^(-1/2)
Wegen
int (1-x)^(-1/2)dx = -2*sqrt(1-x)
konvergiert int[0..1](1-x)^(-1/2)dx,
also auch J.
2) Geht analog, man muss jetzt den
Integranden für x-1 und für x->oo geignet
abschätzen.
3) Das Integral heisse I. Substituiere zunächst
x^2 = t ==> dx = dt/(2sqrt(t)) und benutze
1/sqrt(t) = 2/sqrt(pi)*int[0..oo]e^(-t*s^2)ds
(Fehlerintegral !)
Man darf die Integrationsreihenfolge vertauschen (!) und hat
I = 2/sqrt(pi)*int[0..oo]{int[o..oo]e^(-ts^2)*
cos(t)dt}ds.
Das innere Integral ist = s^2/(1+s^4), also
I = 2/sqrt(pi)*int[0..oo]s^2/(1+s^4)ds
=sqrt(pi/2).
Beachte : 1+s^4 = (s^2-sqrt(2)s+1)*
(s^2+sqrt(2)s+1), so lässt sich der Integrand
leicht in Partialbrüche zerlegen.
have fun
Orion
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Bob
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. April, 2002 - 13:02: |
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Vielen Dank Orion
Die erste Abschätzung habe ich hinbekommen. Bei der 2. komme ich jedoch auf keinen grünen Zweig.
Es ist doch richtig, dass ich entweder ein kleineres Integral finden muß, das divergiert, oder ein größeres das konvergiert um eine Aussage machen zu können, oder??
Bob |
orion (orion)
Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 31
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. April, 2002 - 15:37: |
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Hallo Bob :
Das 2. Integral ist
I := int[1..oo](x^3-1}^(-1/2)dx.
Hier haben wir 2 Probleme : Der Integrand
strebt ->oo für x-> 1, und wir haben ausserdem ein unendliches Integrationsintervall. Nach der Devise
"Eins nach dem anderen" schreiben wir also
mal
I = I_1 + I_2
:=( int[1..R] + int[R..oo])(x^3-1)^(-1/2)dx,
mit passendem R > 1 (s.u.).Dann ist
1) für 1 < x < R : (x^3-1)^(-1/2) < (x-1)^(-1/2)
==> I_1 < int[1..R](x-1)^(-1/2)dx = 2*sqrt(R-1).
2) Wählen wir etwa R = 2^(1/3),
so gilt : x>R ==> x^3-1 > (1/2)x^3
==> (x^3-1)^(-1/2) < C*x^(-3/2)
(C = 1/sqrt(2), aber das ist unwesentlich, man könnte sich auch kurz fassen und konstatieren: (x^3-1)^(-1/2) = O(x^(-3/2)) für
x->oo, O = Landausymbol).
==> I_2 < C*int[R..oo]x^(-3/2)dx
und letzteres Integral konvergiert ebenfalls.
mfg
Orion
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Bob
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. April, 2002 - 17:59: |
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Danke Orion, jetzt habe auch ich es verstanden
Bob |
