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prollo1 (Prollo1)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. November, 2000 - 16:30: | 
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Ich finde bei folgenden Aufgaben nicht ganz die Lösung :
a) ist Wurzel(2) + Wurzel(5) Element aus Q ?
b) Gibt es ein n Element N mit
{[1+Wurzel(2)]hoch n} Element Q ?
c) Sei M:={x Element R|ex.a Element Q,n Element
N: x=(nte-Wurzel(a))oder x=(-nte-Wurzel(a))U
{0}} Ist M = R ?
Wer kann mir helfen |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. November, 2000 - 18:46: |
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Hi,
derartige Fragen immer mit konsequenter Logik bis zum sichtbaren Widerspruch führen.
Q ist abgeschlossen ist ein Körper, das bedeutet u.a. dass Q bzgl. der Addition und der Multiplikation abgeschlossen ist. Wenn also a,beQ, dann ist auch a+b eQ und a*beQ.
Wenn w(2)+w(5) e Q wäre, dann ist auch (w(2)+w(5))2 eQ
(w(2)+w(5))2 = 2 + 2*w(10) + 5. Also ist dann w(10)eQ.
Und das ist falsch!
Entweder ist das schon bekannt oder man beweist es ebenso, wie man zeigt, dass w(2) irrational ist (nur mit 10 statt 2).
b) Antwort nein. Sieht man so:
(1+w(2))n = Sn k=0 (nk)*(w(2))k
Schreibe diese Summe als 2 Summen, eine über die geraden k, eine über die ungeraden k.
Die Summe über die
Für alle geraden k ist (w(2))k in Q.
Für alle ungeraden k ist (w(2))k+1 = (w(2))k * w(2).
Für alle geraden k ist (w(2))k in Q
Also gilt;
(1+w(2))n = S k gerade (nk)*(w(2))k + S k ungerade (nk)*(w(2))k.
Die erste Summe ist eQ. Aus der zweiten Summe kann man w(2) ausklammern, damit ist der Rest eQ.
Wir haben also eine Darstellung p + w(2)*q mit p,qeQ.
Daraus folgt mit der Argumentation aus a), daß w(2) eQ. Und das ist falsch.
Nun c): Auch falsch. Es würde nämlich bedeuten, daß man jede reele Zahl als Wurzel einer rationalen Zahl schreiben kann. Es gibt aber in R auch transzendente Zahlen (z.B. p, für die das nicht gilt.
Den Beweis, daß p transzendent ist, führe ich nicht, weil ich nicht glaube, daß das verlangt ist (zu schwer).
Gruß
Matroid |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. November, 2000 - 13:11: |
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c folgt auch einfach aus b. 1 + Wurzel(2) liegt nicht in M. |
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