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Beitrag |
    
Aleyna
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. Oktober, 2000 - 20:52: | 
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Hi , bitte um Hilfe
In einer unabhängigen Serie von 01-Würfen mit Erfolswahrscheinlichkeit p erscheint die k-te 1 nach Y Würfen. Berechnen Sie die Verteilung und den Erwatrungswert von Y.
Vielen Dank. |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. November, 2000 - 14:56: |
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Hi Aleyna,
ich stelle mir nun folgendes Zufallsexperiment vor:
Man wirft eine Würfel. Wenn die geworfenen Zahl gerade ist, dann notiert man eine 1, wenn sie ungerade ist, notiert
man eine 0.
Sobald k (vorher bestimmte Anzahl) Einsen notiert sind, ist die Anzahl der bis dahin benötigten Würfe die gesuchte
Zufallsvariable Y. Offensichtlich ist k die kleinste Anzahl von Würfen, die man benötigen kann, um k-mal Erfolg zu
haben.
Wie ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß Y=k bei k Würfen?
Dazu muß k-mal nacheinander der Erfolg eingetreten sein. P(Y=k) = pk
Wie ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß Y=k+1, also der k-te Erfolg genau nach k+1 Würfen?
Dazu muß bei den ersten k-Würfen genau ein Mißerfolg und beim (k+1)-ten Wurf ein Erfolg eingetreten sein.
P(Y=k+1) = b(k,k-1,p) * p
Dabei ist b(k,k-1) die Wahrscheinlichkeit bei k Würfen genau k-1 Erfolge gehabt zu haben. Für so eine Zufallsvariable
ist die Binomialverteilung die richtige. Darum ist b(k,k-1,p)=(kk-1)*pk-1+(1-p)1.
Nun Y=k+2:
P(Y=k+2) = b(k+1,k-1) * p
Allgemein
P(Y=k+x) = b(k+x-1,k-1) * p
und noch mal zu Unterstützung:
b(k+x,k-1)=(k+x-1k-1)*pk-1+(1-p)x.
Die Verteilungsfunktion ist P(Y=k+x) = (k+x-1x)*pk+(1-p)x
und die Wahrscheinlichkeitsfunktion F(x) ist: Sx i=0 P(Y=k+i) = Sx i=0 (k+i-1i)*pk+(1-p)i
Diese Verteilung P(Y=k+x) ist bekannt als Pascal-Verteilung.
Die Pascal-Verteilung ist ein Modell für das "Wartezeitproblem" = wieviele Versuche bis ...
Ein Spezialfall der Pascal-Verteilung ist die geometrische Verteilung, da ist nämlich k=1.
Nun muß man noch den Erwartungswert von F ausrechnen. Es ist m = S j xj*f(xj).
Aber das ist wahrscheinlich viel Schreibarbeit.
Also mache ich hier erstmal eine Pause.
Gruß
Matroid |
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