| Autor |
Beitrag |
    
Antje
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Oktober, 2000 - 20:02: | 
|
Hey folks,
kann mir jemand von euch dabei weiterhelfen:
f:A-->B ; g:B-->C
Beweisen Sie folgende Aussagen:
(a) g o f bijektiv und f bijektiv --> g bijektiv
(b) g o f und g bijektiv --> f bijektiv
(c) g o f injektiv --> f injektiv
(d) g o f surjektiv und g injektiv --> f surjektiv
(e) g o f surjektiv --> g surjektiv
Wär' nett wenns jemand lösen könnte!!(ausfürliche Erklärung dazu wär auch ganz gut!!!) |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Oktober, 2000 - 22:08: |
|
Hi Antje,
ich hab was für 2 von Deinen Aufgaben:
Zunächst die Definitionen
f injektiv <=> ( x!=y => f(x) != f(y) )
f surjektiv von D in W <=> für alle yeW ex. ein xeD mit f(x)=y
Erste Behauptung: (Beweis der Umkehrung)
Umkehrung: f nicht injektiv => g o f nicht injektiv.
Beweis: Wenn f nicht injektiv, dann ex. x!=y mit f(x)=f(y) (Noch eine Umkehrung, diesmal der Definition).
Wenn aber f(x)=f(y) dann ist auch
(g o f)(x)=g(f(x))=g(f(y))=(g o f)(y). qed
Es ist richtig (g o f)(x)=g(f(x)) zu setzen, denn
genau dadurch ist der 'o' definiert.
Zweiter Beweis: (durch Umkehrung)
Umkehrung: g nicht surjektiv, dann g o f nicht surjektiv.
Wenn g nicht surjektiv, dann ex ein yeW(g), so daß für alle xeD(g) gilt: g(x)!=y.
Da dies für alle x aus dem Definitionsbereich von g gilt, gilt es insbesondere auch für alle x aus dem Definitionsbereich von g, für
die es ein z aus dem Definitionsbereich von f gibt mit f(z)=x. Die Menge der Bilder f(x) kann ja höchsten gleich dem Definitionsbereich von g sein. Damit gäbe es für y keine Urbild z mit
g o f(z) = y. Also g o f nicht surjektiv.
Zweiter Beweis (Direkt)
Wenn für alle yeW(gof) ein xeD(gof) ex mit gof(x)=y.
Nun ist D(gof)=D(g)geschnitten W(f).
D(g) ist also eine Obermenge von D(gof).
Damit gibt es erst recht ein zeD(g) mit
g(z)=y. qed. Den Beweis finde ich schöner.
So ähnlich und streng formal werden auch die anderen Beweise gehen.
Gruß
Matroid |
XX
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Oktober, 2000 - 13:44: |
|
Hey Schbatz!!! |
|
