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Beitrag |
    
Steffi
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Oktober, 2000 - 14:13: | 
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Hilfe!
Seien f: A----B und g: B---A Abbildungen. Zeige:
g o f injektiv folgt f injektiv
g o f surjektiv folgt g surjektiv
Wie lauten die Kontrapositionen dieser wahren Aussagen???
Kann mir bitte da weiter helfen: Steffi |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Oktober, 2000 - 22:12: |
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Hallo Steffi,
zunächst die Definitionen
f injektiv <=> ( x!=y => f(x) != f(y) )
f surjektiv von D in W <=> für alle yeW ex. ein xeD mit f(x)=y
Erste Behauptung: (Beweis der Umkehrung)
Umkehrung: f nicht injektiv => g o f nicht injektiv.
Beweis: Wenn f nicht injektiv, dann ex. x!=y mit f(x)=f(y) (Noch eine Umkehrung, diesmal der Definition).
Wenn aber f(x)=f(y) dann ist auch
(g o f)(x)=g(f(x))=g(f(y))=(g o f)(y). qed
Es ist richtig (g o f)(x)=g(f(x)) zu setzen, denn
genau dadurch ist der 'o' definiert.
Zweiter Beweis: (durch Umkehrung)
Umkehrung: g nicht surjektiv, dann g o f nicht surjektiv.
Wenn g nicht surjektiv, dann ex ein yeW(g), so daß für alle xeD(g) gilt: g(x)!=y.
Da dies für alle x aus dem Definitionsbereich von g gilt, gilt es insbesondere auch für alle x aus dem Definitionsbereich von g, für die es ein z aus dem Definitionsbereich von f gibt mit f(z)=x. Die Menge der Bilder f(x) kann ja höchsten gleich dem Definitionsbereich von g sein. Damit gäbe es für y keine Urbild z mit
g o f(z) = y. Also g o f nicht surjektiv.
Zweiter Beweis (Direkt)
Wenn für alle yeW(gof) ein xeD(gof) ex mit gof(x)=y.
Nun ist D(gof)=D(g)geschnitten W(f).
D(g) ist also eine Obermenge von D(gof).
Damit gibt es erst recht ein zeD(g) mit
g(z)=y. qed. Den Beweis finde ich schöner.
Gruß
Matroid |
Pteros
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Oktober, 2001 - 16:33: |
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Hilfe!
Sei M eine Menge, f:M->Potenzmenge(M) eine Abbildung von M in die Potenzmenge von M.
Zu zeigen: f ist nicht surjektiv.
Kann mir bitte jemand helfen? |
matroid
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Oktober, 2001 - 16:53: |
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Hallo, zu zeigen ist, daß die Potenzmenge eine größere Mächtigkeit hat als M. Eine Surjektion von einer Menge in echt größere Menge ist nämlich nicht möglich.
Zum Beweis verwendet man die Diagonalmethode von Cantor. Siehe http://matheplanet.de/default3.html?article=2.
Gruß
Matroid |
pteros
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Oktober, 2001 - 09:39: |
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Hallo Matroid,
Danke fuer deine Hilfe aber die Seite kann nicht geoeffnet werden. |
pteros
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Oktober, 2001 - 13:26: |
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Vielen Dank Matroid,
ich habe alles gefunden,was ich brauchte. |
Sarina
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Oktober, 2001 - 08:42: |
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Du hast auch mir sehr damit geholfen!
Danke schön! |
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