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mia
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. April, 2001 - 20:30: |
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Es sei V ein Euklidischer Vektorraum und phi: V -> V eine Abbildung mit ||phi(x)-phi(y)|| = ||x-y|| für alle x,y aus V. zu zeigen ist: Gilt phi(0)=0, dann ist phi ein orthogonaler Endomorphismus von V. |
Hans (Birdsong)
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. April, 2001 - 07:49: |
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Hallo : Nach Annahme ist in V eine positiv definite Bilinearform (x,y) definiert, und es gilt ||x|| = sqrt((x,x)). Wegen phi(0) = 0 folgt weiter aus der Voraussetzung (setze y = 0) : ||phi(x)|| = ||x|| fŸr alle x in V, also ||phi(x) - phi(y)||^2 = ||phi(x)||^2 + ||phi(y)||^2 - 2*(phi(x),phi(y)) = ||x||^2 + ||y||^2 - 2*(phi(x),phi(y)). Andererseits ist ||x - y||^2 = ||x||^2 + ||y||^2 - 2*(x,y), somit (phi(x),phi(y)) = (x,y) fŸr alle x,y in V. Das war zu zeigen. Gruss Hans |
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