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Ring und Körper

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Sharon (sharon_)
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Neues Mitglied
Benutzername: sharon_

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 10-2001
Veröffentlicht am Montag, den 08. April, 2002 - 16:13:   Beitrag drucken

Hallo an alle.

Ich habe zur Zeit einen Beweis durchzuführen und würde gerne von euch ein paar Ratschläge haben. Es geht um folgenden Satz:

!!! - Jeder kommutative Ring mit 1, der außer 0 keine Nullteiler hat, lässt sich als Unterring in einem Körper einbetten. - !!!

Nun gut, ich habe erstmal ein paar Verständnisfragen.

Folgt aus der Nullteilerfreiheit des Ringes, falls er auf einer endlichen Menge definiert ist, nicht auch die Existenz des multiplikativen Inversen?

Das einzige was den Ring da oben von einem Körper unterscheiden würde ist doch, dass das mult. Inverse und die Kommutativität nicht vorhanden sein müssen, diese aber da sind und der oben definierte Ring also ein Körper ist, wenn die Menge endlich ist!?!

Was muß ich nun genau beweisen? Was meinen die eigentlich mit "Unterring"? Das ein solcher Ring in mitten eines Körpers existiert kann ich mir ja vorstellen, aber konkrete Beispiele fallen mir nicht ein.

Wie soll ich anfangen?

Wohldefiniertheit? Äquivalenzklassen? Irgendwelche Mengenbetrachtungen?

Wäre für jeden Rat dankbar.

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Zaph (zaph)
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Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: zaph

Nummer des Beitrags: 87
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Montag, den 08. April, 2002 - 17:05:   Beitrag drucken

Hallo Sharon,

Folgt aus der Nullteilerfreiheit des Ringes, falls er auf einer endlichen Menge definiert ist, nicht auch die Existenz des multiplikativen Inversen?

Ja!

Das einzige was den Ring da oben von einem Körper unterscheiden würde ist doch, dass das mult. Inverse und die Kommutativität nicht vorhanden sein müssen, diese aber da sind und der oben definierte Ring also ein Körper ist, wenn die Menge endlich ist!?!

Kommutativität hast du doch vorausgesetzt. Wenn der Ring endlich ist, ist es ein Körper. Korrekt!

Was muß ich nun genau beweisen? Was meinen die eigentlich mit "Unterring"? Das ein solcher Ring in mitten eines Körpers existiert kann ich mir ja vorstellen, aber konkrete Beispiele fallen mir nicht ein.

Z. B. hat R, der Körper der reellen Zahlen, den Ring Z der ganzen Zahlen als Unterring.

Wie soll ich anfangen? Wohldefiniertheit? Äquivalenzklassen? Irgendwelche Mengenbetrachtungen?

Äquivalenzklassen hört sich gut an! Gehe analog vor, wie Q aus Z definiert wird.

A sei der Ring.

Definiere ~ auf A x A durch

(a,b) ~ (c,d) <=> ad = bc.

Setze K = (A x A)/~

Jetzt noch die Elemente aus A mit (a,1)/~ austauschen, damit K eine Obermenge von A wird.

Müsste eigentlich klappen, falls nicht, melde dich noch mal...
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orion (orion)
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Mitglied
Benutzername: orion

Nummer des Beitrags: 18
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Montag, den 08. April, 2002 - 17:49:   Beitrag drucken

Hallo Sharon :

Hier ein Hinweis , führe die Einzelheiten
selbst aus , sie sind elementar, wenn auch
manchmal ein wenig mühsam.

Sei R der fragliche Ring (Integritätsbereich !),
R* := R ohne 0. Auf dem kartesischen
Produkt R x R* wird folgende Relation "qgl"
(lies: quotientengleich) definiert:

(1) (a,b) qgl (c,d) :<==> ad = bc.

Man weist zunächst nach, dass qgl eine
Aequivalenzrelation , d.h. reflexiv, symmetrisch
und transitiv ist (für letzteres benötigt man
die Nullteilerfreiheit !). Damit zerfällt R x R*
in Aequivalenzklassen bzgl. qgl. K bezeichne die Menge dieser Aequivalenzklassen. In K
werden nun Addition und Multiplikation
gemäss

(2) k(a,b) + k(c,d) := k(ad+bc, bd)

(3) k(a,b) * k(c,d) := k(ac,bd).

Dabei bezeichne k(a,b) die Aequivalenzklasse
von (a,b) ( was natürlich nur eine verfremdende Schreibweise für a/b ist ). Man muss als nächstes zeigen, dass dies "repräsentantenunabhängig" ist,
d.h. dass die rechte Seite von (2),(3) nicht
von (a,b) und (c,d), sondern nur von den
jeweiligen Klassen k(a,b), k(c,d) abhängt.
Jetzt ist das Verknüpfungsgebilde (K,+,*)
wohldefiniert, und man rechnet leicht nach,
dass es sich um einen Körper handelt
(Nullelement n = k(0,1), Einselement e=k(1,1), multiplikativ-inverses k(a,b)^(-1) =
k(b,a) , falls a != 0). Zum Schluss muss man
noch R in K einbetten. Dazu betzrachtet man
R_1 := {k(a,1) | a in R}. R_1 ist ein Unterring von K, und die Abbildung

f : R --> R_1 mit f(a) := k(a,1)

erweist sich als Isomorphismus, daher darf
man schlussendlich k(a,1) mit a identifizieren, womit die Konstruktion beendet ist.

Have fun

Orion


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Sharon (sharon_)
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Benutzername: sharon_

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 10-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 14. April, 2002 - 07:29:   Beitrag drucken

Erst einmal meinen Dank an euch zwei für die schnelle Hilfe ... umso mehr tut es mir Leid, dass ich mit einer Antwort habe ein wenig warten lassen.

Eure Ratschläge, speziell deine Orion haben mir sehr weitergeholfen, doch leider habe ich noch ein kleines Problem.

Ich tüftle nun schon seit längerem an dem Beweis der Wohldefiniertheit herum und komme auf keinen grünen Zweig.

Meine Relation x/y ~ x`/y` <=> x*y`=x`*y hilft mir irgendwie nicht und meine Versuche zum Term was zu addieren oder multiplizieren, um die Unabhängigkeit vom Representanten zu belegen waren irgendwie fruchtlos.

Wie kann ich das genau durchführen?

Achja ... ausserdem habe ich festgestellt, dass die Menge auf die, die Äquivalenzrelation definiert ist ja überhaupt nicht endlich sein muss ... ist der Beweis der Einbettung dann anders durchzuführen?

Danke nochmal ...

Sharon

(Beitrag nachträglich am 14., April. 2002 von sharon_ editiert)
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Sharon (sharon_)
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Benutzername: sharon_

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 10-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 14. April, 2002 - 07:41:   Beitrag drucken



(Beitrag nachträglich am 14., April. 2002 von sharon_ editiert)

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